Question

Вычислить интеграл (3x*5^((-x)^2)dx

Answer 1

Вот, попробуй. Правда, возможно уже поздно. 

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте разобьем его на две части и рассмотрим каждую из них отдельно.

Интеграл состоит из двух слагаемых: 3x и 5^((-x)^2). Давайте начнем с первого слагаемого:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx

Для интегрирования этого слагаемого, мы можем использовать метод интегрирования по частям (integration by parts). Для этого, мы выбираем u = 3x и dv = 5^((-x)^2)dx. Затем мы находим du и v, применяем формулу интегрирования по частям:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx = (u*v) - ∫(v*du)

Давайте найдем du и v:

du/dx = 3 dv = 5^((-x)^2)dx

Теперь, найдем du и v, интегрируя их:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx = (3x)*(∫5^((-x)^2) dx) - ∫((∫5^((-x)^2) dx)*3 dx)

Первое слагаемое, (3x)*(∫5^((-x)^2) dx), мы можем оставить в этом виде, так как оно не может быть выражено через элементарные функции. Однако, мы можем попробовать выразить второе слагаемое в более простой форме.

Для вычисления ∫5^((-x)^2) dx, мы должны использовать замену переменной. Положим u = -x^2, тогда du = -2x dx. Теперь, давайте подставим это в наш интеграл:

∫5^((-x)^2) dx = ∫(5^u)*(-1/2) du = (-1/2) ∫5^u du

Теперь, мы можем интегрировать ∫5^u du, заметив, что это интеграл от постоянного множителя исходной функции, и тогда:

∫5^u du = (5^u)/(ln(5)) + C

Где C - постоянная интегрирования.

Итак, теперь, мы можем вернуться к нашему второму слагаемому:

∫((∫5^((-x)^2) dx)*3 dx) = ∫((5^((-x)^2))/(ln(5))) * 3 dx = (3/(ln(5))) ∫(5^((-x)^2)) dx

Итак, наше исходное интегральное выражение теперь выглядит следующим образом:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx = (3x)*(∫5^((-x)^2) dx) - ∫((∫5^((-x)^2) dx)*3 dx)

= (3x)*(∫5^((-x)^2) dx) - (3/(ln(5))) ∫(5^((-x)^2)) dx

Теперь, мы можем заметить, что первое слагаемое совпадает с исходным интегралом, за исключением коэффициента 3/(ln(5)). Поэтому, мы можем записать:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx = (3/(ln(5))) * ∫(5^((-x)^2)) dx + C

Где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, мы получаем окончательный ответ:

∫(3x*5^((-x)^2)) dx = (3/(ln(5))) * ∫(5^((-x)^2)) dx + C

где C - постоянная интегрирования.