Question

Вычислите неопределенный интеграл 7x^2 (2-x^4) dx

Answer 1

7х^2(2-х^4)dx=раскрываем скобки (14х^2-7х^6)dx=14х^3/3-7х^7/7=14х^3/3-х^7

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла \(\int 7x^2(2-x^4)dx\) мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), где \(u\) и \(v\) - это функции, а \(du\) и \(dv\) - их дифференциалы.

Давайте выберем \(u = 7x^2\) и \(dv = (2 - x^4)dx\). Теперь мы можем вычислить \(du\) и \(v\): \[du = 14x \, dx\] \[v = \int (2 - x^4) \, dx = 2x - \frac{x^5}{5} + C\]

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: \[\int 7x^2(2-x^4)dx = 7x^2 \cdot (2x - \frac{x^5}{5}) - \int (2x - \frac{x^5}{5}) \cdot 14x \, dx\]

Вычислим интеграл \(\int (2x - \frac{x^5}{5}) \cdot 14x \, dx\): \[\int (2x - \frac{x^5}{5}) \cdot 14x \, dx = 28 \int x^2 \, dx - \frac{14}{5} \int x^6 \, dx\] \[= 28 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{14}{5} \cdot \frac{x^7}{7} + C\]

Итак, после подстановки, окончательный ответ нашего неопределенного интеграла будет: \[7x^2 \cdot (2x - \frac{x^5}{5}) - 28 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{14}{5} \cdot \frac{x^7}{7} + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.