Question

Исследовать функцию и построить графикf(x)=2x^3-9x^2+12x-8

Answer 1

f(x)=2x^3-9x^2+12x-8

Область определения функции:

х∈(-∞,∞)

Пересечение с осью абсцисс (ОХ):

2х∧3-9х∧2+12х-8=0⇔х=(4√3+7)∧1/3/2+1/2*(4√3+7)∧1/3+3/2

Пересечение с осью ординат (ОУ):

х=0, f(x)=-8

Поведение функции на бесконечности:

Limx->∞2х∧3-9х∧2+12х-8=∞

Limх->-∞2х∧3-9х∧2+12х-8=-∞

Исследование функции на четность/нечетность:

f(x)=2х∧3-9х∧2+12х-8

f(-x)=-2х∧3-9х∧2-12х-8

Функция не является ни четной, ни ничетной.

Производная функции:

d/dx(2x∧3-9х∧2+12х-8)

2(d/dx(x∧3))-9(d/dx(x∧2))+12(d/dx(x))+d/dx(-8)

2(d/dx(x∧3))-9(d/dx(x∧2))+12(d/dx(x))+0

2(d/dx(x∧3))-9(d/dx(x∧2))+1*12

2(d/dx(x∧3))-9(2x)+12

2(3x∧2)-18x+12

6x∧2-18x+12

Нули производной:

х=1

х=2

Функция возрастает на:

х∈(-∞,1]U[2,∞)

Функция убывет на:

х∈[1,2]

Минимальное значение функции: -∞

Максимальное значение функции: ∞

График:

 

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8

Давайте исследуем эту функцию и построим ее график.

Исследование функции

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x, чтобы определить экстремумы и точки перегиба. Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12

2. Найдем корни производной, решив уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 18x + 12 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два корня: x = 1 и x = 2.

3. Определим знак производной на интервалах между и за пределами корней. Для этого выберем произвольные значения x в каждом интервале и подставим их в производную. Например, для интервала (-∞, 1) можно выбрать x = 0:

f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12

Таким образом, на интервале (-∞, 1) производная положительна.

Аналогично, для интервала (1, 2) можно выбрать x = 1.5:

f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = -3

Значит, на интервале (1, 2) производная отрицательна.

Наконец, для интервала (2, +∞) можно выбрать x = 3:

f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 12

Таким образом, на интервале (2, +∞) производная положительна.

4. Из знаков производной можно сделать вывод о поведении функции на соответствующих интервалах:

- На интервале (-∞, 1) функция возрастает. - В точке x = 1 достигается локальный минимум. - На интервале (1, 2) функция убывает. - В точке x = 2 достигается локальный максимум. - На интервале (2, +∞) функция возрастает.

5. Теперь найдем точки перегиба функции. Для этого найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 12x - 18

6. Найдем корень второй производной, решив уравнение f''(x) = 0:

12x - 18 = 0

Решив это уравнение, получим x = 1.5.

7. Определим знак второй производной на интервалах между и за пределами корня. Например, для интервала (-∞, 1.5) можно выбрать x = 1:

f''(1) = 12(1) - 18 = -6

Таким образом, на интервале (-∞, 1.5) вторая производная отрицательна.

Аналогично, для интервала (1.5, +∞) можно выбрать x = 2:

f''(2) = 12(2) - 18 = 6

Значит, на интервале (1.5, +∞) вторая производная положительна.

8. Из знаков второй производной можно сделать вывод о наличии точки перегиба в точке x = 1.5.

Построение графика

Теперь, когда мы исследовали функцию, давайте построим ее график. Вот график функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8:


На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1 и локальный максимум в точке x = 2. Также есть точка перегиба в точке x = 1.5.

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.