Question

Решите неравенство 2^(2x-1) -7*2^(x-1)+5 больше либо равно 0

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

2^(2*x-1)-7*2^(x-1)+5>=0
(2^2x)/2-(7*2^x)/2+5=0   (*2)
(2^2*x)-7*(2^x)+10=0
Пусть 2^x=y
(y^2)-7*y+10=0  y1,2=(7±√49-40)/2=(7±3)/2
y1=(7-3)/2=2       2^x=2   2^x=2^1    x=1
y2=(7+3)/2=5      2^x=5   x=loq(2)5

Answer 3

Для решения этого неравенства, нужно сначала привести его к виду $$2^{2x-1} - 7 \cdot 2^{x-1} + 5 \geq 0$$, а затем сделать замену $$t = 2^{x-1}$$, чтобы получить квадратное неравенство $$t^2 - 7t + 5 \geq 0$$.

Далее, нужно найти корни этого неравенства, решив квадратное уравнение $$t^2 - 7t + 5 = 0$$ с помощью дискриминанта или формулы корней. Корнями будут $$t_1 = \frac{7 - \sqrt{29}}{2}$$ и $$t_2 = \frac{7 + \sqrt{29}}{2}$$.

Теперь, нужно построить знаковую таблицу для квадратного неравенства, отметив на числовой прямой корни и знаки коэффициентов. Поскольку коэффициент при старшей степени положительный, то неравенство будет выполняться вне корней, то есть при $$t \leq t_1$$ или $$t \geq t_2$$.

Наконец, нужно вернуться к исходной переменной $$x$$, подставив вместо $$t$$ выражение $$2^{x-1}$$. Тогда получим два логарифмических неравенства: $$2^{x-1} \leq \frac{7 - \sqrt{29}}{2}$$ или $$2^{x-1} \geq \frac{7 + \sqrt{29}}{2}$$. Решая их, получим ответ: $$x \leq \log_2{\left(\frac{7 - \sqrt{29}}{2}\right)} + 1$$ или $$x \geq \log_2{\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{2}\right)} + 1$$.

Подробнее о решении квадратных неравенств можно прочитать в [статье](https://ru.wikihow.com/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B0%D1%82%D1%8C-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0) или [видео](https://youclever.org/book/reshenie-uravneniy-neravenstv/).