Question

Дан треугольник ABC и окружность, которая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC в точках B1 C1 A1 соответственно докажите что угл A1B1C1=90+1/2УглаB

Answer 1

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
△A1B1B = △C1B1B (по двум сторонам и углу)
∠A1B1B = ∠C1B1B => ∠A1B1O = ∠C1B1O (углы, смежные с равными углами)
∠A1BO = ∠C1BO = 0,5∠ABC 

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠A1OB = 90 - ∠A1BO

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
∠A1OB = U A1B1

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
∠A1B1A = 0,5 U A1B1

∠A1B1O = 90 - ∠A1B1A = 90 - 0,5(90 - ∠A1BO) = 45 + 0,5 ∠A1BO
∠A1B1C1 = 2 ∠A1B1O = 90 + ∠A1BO = 90 + 0,5 ∠ABC

Answer 2

Чтобы доказать, что угол A1B1C1 равен половине угла B, мы можем использовать свойства касательной, треугольников и углов.

Для начала, обратимся к основным свойствам касательной. Если окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке A1, то угол между касательной и стороной треугольника равен прямому углу. То же самое верно для точек B1 и C1.

Теперь обратимся к свойствам треугольников. Углы треугольника суммируются до 180 градусов. Таким образом, угол BAC + угол ABC + угол BCA равны 180 градусам.

Теперь докажем, что угол A1B1C1 равен половине угла B, используя эти свойства:

1. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник A1B1C1. 2. Угол ABC равен углу A1BC1 (по свойству касательной). 3. Угол A1BC1 равен углу A1B1C1 (по свойству касательной). 4. Таким образом, угол ABC равен углу A1B1C1. 5. Угол B равен двум углам ABC (из свойства треугольников). 6. Угол A1B1C1 равен половине угла B.

Таким образом, мы доказали, что угол A1B1C1 равен половине угла B.