Question

Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями: f(x)=-1/3x^2+6; q(x)=12-3x;x=-3; x= 4

Answer 1

Смотреть во вложении
---------------------------------------

Answer 2

Формула для площади криволинейной трапеции

Для нахождения площади криволинейной трапеции между двумя кривыми, ограниченными вертикальными линиями, мы можем использовать интеграл. Формула для расчета площади криволинейной трапеции выглядит следующим образом:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где: - S - площадь криволинейной трапеции - a и b - границы интегрирования - f(x) и g(x) - уравнения кривых, ограничивающих трапецию

Нахождение площади

В данном случае, у нас есть две функции: f(x) = -1/3x^2 + 6 и q(x) = 12 - 3x. Мы должны найти площадь криволинейной трапеции между этими двумя функциями на отрезке от x = -3 до x = 4.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их:

-1/3x^2 + 6 = 12 - 3x

Решим это уравнение:

-1/3x^2 + 3x - 6 = 0

Теперь можем применить квадратное уравнение или графический метод, чтобы найти значения x. После решения уравнения, мы получим две точки пересечения: x = -1 и x = 6.

Теперь мы можем найти площадь криволинейной трапеции, используя формулу интеграла:

S = ∫[-3, 4] |f(x) - q(x)| dx

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной функциями f(x) и q(x) на отрезке от -3 до 4 будет:

S = ∫[-3, 4] |-1/3x^2 + 6 - (12 - 3x)| dx

S = ∫[-3, 4] |-1/3x^2 + 3x - 6| dx

Нахождение значения интеграла

Чтобы найти значение этого интеграла, мы можем разбить его на два интеграла на каждом из отрезков [-3, -1] и [-1, 4]:

S = ∫[-3, -1] |-1/3x^2 + 3x - 6| dx + ∫[-1, 4] |-1/3x^2 + 3x - 6| dx

Вычислим каждый из этих интегралов отдельно и сложим результаты.

Вычисление первого интеграла:

∫[-3, -1] |-1/3x^2 + 3x - 6| dx

Мы можем разделить этот интеграл на три части:

∫[-3, -1] -1/3x^2 dx + ∫[-3, -1] 3x dx - ∫[-3, -1] 6 dx

Вычислим каждую из этих частей:

∫[-3, -1] -1/3x^2 dx = [-1/9x^3] [-3, -1] = [-1/9 * (-1)^3 - (-1/9 * (-3)^3)]

∫[-3, -1] 3x dx = [3/2x^2] [-3, -1] = [3/2 * (-1)^2 - (3/2 * (-3)^2)]

∫[-3, -1] 6 dx = [6x] [-3, -1] = [6 * (-1) - (6 * (-3))]

Вычисление второго интеграла:

∫[-1, 4] |-1/3x^2 + 3x - 6| dx

Мы можем разделить этот интеграл на три части:

∫[-1, 4] -1/3x^2 dx + ∫[-1, 4] 3x dx - ∫[-1, 4] 6 dx

Вычислим каждую из этих частей:

∫[-1, 4] -1/3x^2 dx = [-1/9x^3] [-1, 4] = [-1/9 * 4^3 - (-1/9 * (-1)^3)]

∫[-1, 4] 3x dx = [3/2x^2] [-1, 4] = [3/2 * 4^2 - (3/2 * (-1)^2)]

∫[-1, 4] 6 dx = [6x] [-1, 4] = [6 * 4 - (6 * (-1))]

Вычисление значения площади

Теперь мы можем сложить все полученные значения, чтобы найти конечное значение площади:

S = [-1/9 * (-1)^3 - (-1/9 * (-3)^3)] + [3/2 * (-1)^2 - (3/2 * (-3)^2)] + [6 * (-1) - (6 * (-3))] + [-1/9 * 4^3 - (-1/9 * (-1)^3)] + [3/2 * 4^2 - (3/2 * (-1)^2)] + [6 * 4 - (6 * (-1))]

Вычислив это выражение, мы получим значение площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными функциями и отрезком [-3, 4].