Question

4. Спростіть вираз (sin 5alpha - sin alpha)/(cos 3alpha)

Answer 1

Щоб спростити вираз (sin 5α - sin α)/(cos 3α), ми можемо скористатися декількома формулами тригонометрії. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Крок 1: Використовуємо формулу різниці синусів

За формулою різниці синусів, ми можемо переписати вираз sin 5α - sin α як 2sin(2α)cos(3α).

Крок 2: Розкриваємо знаменник

Знаменник виразу є cos 3α. Ми можемо застосувати формулу косинуса подвійного кута, щоб розкрити його. Формула косинуса подвійного кута має вигляд cos 2θ = 2cos²θ - 1.

cos 3α = cos(2α + α) = cos²(2α) - sin²(2α) = (2cos²α - 1)² - (2sinαcosα)² = 4cos⁴α - 4cos²α + 1 - 4sin²αcos²α = 4cos⁴α - 4cos²α + 1 - 4sin²α(1 - sin²α) = 4cos⁴α - 4cos²α + 1 - 4sin²α + 4sin⁴α

Крок 3: Підставляємо обидва результати в початковий вираз

Після розкриття знаменника, ми можемо підставити отримані значення в початковий вираз:

(sin 5α - sin α)/(cos 3α) = (2sin(2α)cos(3α))/(4cos⁴α - 4cos²α + 1 - 4sin²α + 4sin⁴α)

Крок 4: Спрощуємо вираз

Тепер, коли ми маємо обидва чисельника і знаменника виразу, ми можемо спростити їх. Приберемо спільні множники і скоротимо їх:

(2sin(2α)cos(3α))/(4cos⁴α - 4cos²α + 1 - 4sin²α + 4sin⁴α) = sin(2α)cos(3α)/(2cos²α - 2sin²α + 1 + 2sin⁴α - 2cos⁴α)

Це є спрощений вираз для (sin 5α - sin α)/(cos 3α).