Question

Найти расстояние между параллельными прямыми: 3х - 2у + 4 = 0 и 3х - 2у + 9 = 0. Написать уравнение прямой, которая находится на одинаковом расстоянии от данных прямых.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Даны две параллельные прямые:

$3x-2y+4=0\\3x-2y+9=0$

Рассмотрим, например, второе уравнение прямой:

$3x-2y+9=0\\2y=3x-9\\y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{9}{2}$

Тогда понятно, что уравнение перпендикулярной ей прямой имеет вид:

$y=-\dfrac{2}{3}x+m$, где m - произвольное число.

Для удобства вычислений примем, что $m=2$.

Тогда:

$y=-\dfrac{2}{3}x+2$

Не сложно понять, что эта прямая проходит через точку $(0;\;2)$.

Также и первая прямая $3x-2y+4=0,\;=>\;y=\dfrac{3}{2}x+2$ содержит эту точку.

(это сразу видно из уравнений прямых).

Тогда точка пересечения этих прямых $A$ имеет координату $(0;\;2)$.

Решим систему уравнений:

$3x-2y+9=0\\3y+2x-6=0$

Откуда координата точки $B$ будет $\left(-\dfrac{15}{13},\;\dfrac{36}{13}\right)$.

Тогда искомое расстояние равно:

$l=\sqrt{\left(\dfrac{15}{13}-0\right)^2+\left(\dfrac{36}{13}-2\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{13}}{13}$

Замечу, что при решении можно было воспользоваться готовой формулой.

Уравнение прямой, которая находится на одинаковом расстоянии от данных прямых имеет вид:

$y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{4}$

Задание выполнено!

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, можно воспользоваться формулой:

d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²),

где A и B - коэффициенты при x и y соответственно в уравнении прямой, C₁ и C₂ - свободные члены в уравнениях прямых.

В данном случае первое уравнение имеет вид: 3x - 2y + 4 = 0, а второе уравнение: 3x - 2y + 9 = 0.

Сравнивая их, можно увидеть, что коэффициенты при x и y одинаковые, а свободные члены отличаются на 5 (9 - 4).

Используя формулу, получим:

d = |4 - 9| / √(3² + (-2)²) = 5 / √13.

Таким образом, расстояние между данными прямыми равно 5 / √13.

Чтобы найти уравнение прямой, которая находится на одинаковом расстоянии от данных прямых, нужно найти середину отрезка, соединяющего данные прямые, и направляющий вектор этой прямой будет перпендикулярен данной прямой.

Уравнение прямой с заданными условиями будет иметь вид:

3x - 2y + D = 0,

где D - свободный член, который нужно найти.

Так как прямая должна находиться на одинаковом расстоянии от данных прямых, то она должна быть перпендикулярна к вектору, образованному коэффициентами уравнений данных прямых.

Найдем этот вектор:

(3, -2).

Перпендикулярный вектор будет иметь координаты, обратные по знаку:

(-2, -3).

Теперь найдем середину отрезка, соединяющего данные прямые. Для этого найдем точку пересечения данных прямых:

3x - 2y + 4 = 0, 3x - 2y + 9 = 0.

Вычтем одно уравнение из другого:

0 = 5.

Получили противоречие, значит, данные прямые не пересекаются и не имеют общих точек.

Таким образом, уравнение прямой, находящейся на одинаковом расстоянии от данных прямых, не существует.