Question

Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

Answer 1

Если три стороны параллелограмма равны, то и четвёртая сторона тоже равна им, значит этот параллелограмм - ромб, в котором периметр равен четырём длинам сторон: Р=4АВ.

Пусть точки О и Н середины сторон DA и СВ соотсетственно. АО=НВ, ОН||АВ, значит АВНО - параллелограмм, в котором ОН=АВ, значит ОН=Р/4.

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Для начала, давайте обозначим вершины параллелограмма как A, B, C и D, а стороны как AB, BC, CD и DA. По условию, три стороны параллелограмма равны.

Доказательство:

1. Проведем диагонали AC и BD параллелограмма ABCD. Заметим, что диагонали параллельны и равны между собой, так как они соединяют середины противоположных сторон. 2. Разделим параллелограмм на два треугольника ABC и ACD, используя диагональ AC. 3. Разделим параллелограмм на два треугольника ABD и BCD, используя диагональ BD. 4. Обратим внимание на треугольники ABC и BCD. Они равны по двум сторонам и общему углу, так как AB = BC (по условию), BD = AC (диагонали параллельны и равны) и угол ABD = углу BCA (соответствующие углы при параллельных прямых). 5. Из равенства треугольников ABC и BCD следует, что угол DBC = углу CAB (соответствующие углы). 6. Рассмотрим отрезок, соединяющий середины AD и BC. Обозначим середины этих сторон как M и N соответственно. 7. Теперь обратимся к треугольнику BCD. В этом треугольнике отрезок DN является медианой, и он делит сторону BC пополам. Таким образом, DN = 0.5 * BC. 8. Аналогично, в треугольнике ABC отрезок AM является медианой, и он также делит сторону AD пополам. Значит, AM = 0.5 * AD. 9. Поскольку отрезок AM равен отрезку DN (они соединяют середины противоположных сторон параллелограмма), то AM = DN. 10. Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины AD и BC, равен половине стороны BC, которая в свою очередь равна половине периметра параллелограмма. 11. Следовательно, отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, равен четверти его периметра.

Ответ: Отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.