Question

Две точки движутся по законам x1(t)=4t^2+2 и x2(t)=3t^2+4t-1 (x- метры, t- секунды). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.​

Answer 1

Ответ:

x1 = 8 м/с и x2 = 10 м/с - в момент времени t1 = 1

x1 = 24 м/с и x2 = 22 м/с в момент времени t2 = 3

Пошаговое объяснение:

Указанные законы

$x_1(t)=4t^2+2 \\ x_2(t)=3t^2+4t-1$

описывают функциональные зависимости расстояния х1 и х2 от времент t

Моментами, когда пройденные точками расстояния равны, будут такие моменты времени t, при которых

будет соблюдаться равенство:

$x_1(t) = x_2(t)$

Скорости точек v1 ,v2 определяются как производные от функций расстояния в заданные моменты времени t,

$v_1(t) = x_1'(t) \\ v_2(t) = x_2'(t)$

РЕШЕНИЕ:

1. Определим моменты времени t, когда выполняется равенство

$x_1(t){=}x_2(t) \: { } \: 4t^2+2 =3t^2+4t-1$

Решим уравнение

$4t^2+2 =3t^2+4t-1 \\ 4t^2 + 2 - 3t^2 - 4t + 1 = 0 \\ t^2 - 4t +3 = 0$

По Т. Виета разбиваем на множители:

$(t - 1)(t - 3) = 0 \\ t_1 = 1\: c \\ t_2 = 3\:c$

2. Найдем скорости точек в моменты времени t1 и t2

2а) Определим формулы скорости:

$v_1(t) = x_1'(t) \\ x_1(t)=4t^2+2 \\x' _1(t)=(4t^2+2)' = 4 \cdot2t^{2 - 1} + 0 \\v_1(t) = 8t \\ \\ x_2(t)=3t^2+4t-1 \\ v_2(t) = x_2'(t) \\ v_2(t) = (3t^2+4t-1)' \\ v_2(t) =3 \cdot2t^{2 - 1} + 4 \cdot t^{1- 1} + 0 \\ v_2(t) =6t + 4$

2б) Найдем скорости точек в моменты времени t1 и t2

$t_1 = 1\: c \\ v_1(t) =8t \\v_1(1) =8 \times 1 = 8 \: m/c \\ \\ v_2(t) =6t + 4 \\ v_2(1) =6 \times 1 + 4= 10 \: m/c$

$t_2 = 3 \: c \\ v_1(t) =8t \\v_1(1) =8 \times 3 = 24 \: m/c \\ \\ v_2(t) =6t + 4 \\ v_2(3) =6 \times 3 + 4= 22 \: m/c$

Ответ:

1. 8 м/с и 10 м/с в момент времени t1 = 1
2. 24 м/с и 22 м/с в момент времени t2 = 3

Answer 2

Решение:

Для нахождения скоростей движения точек в моменты, когда пройденные ими расстояния равны, необходимо сначала найти уравнения пути каждой точки, затем найти их скорости в соответствующие моменты времени.

1. Нахождение уравнений пути:

Уравнение пути для каждой точки можно найти, зная, что путь равен интегралу от скорости по времени. Таким образом, уравнение пути \( x(t) \) можно найти, как интеграл от скорости \( v(t) \) по времени:

\[ x(t) = \int v(t) dt \]

2. Нахождение скоростей:

Скорость точки можно найти, взяв производную от уравнения пути по времени:

\[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} \]

3. Нахождение моментов времени, когда пройденные расстояния равны:

Для нахождения моментов времени, когда пройденные расстояния равны, необходимо решить уравнение \( x_1(t) = x_2(t) \).

4. Решение:

Для начала найдем уравнения пути для каждой точки, затем найдем их скорости в соответствующие моменты времени.

Уравнение пути для точки 1: \[ x_1(t) = 4t^2 + 2 \]

Уравнение пути для точки 2: \[ x_2(t) = 3t^2 + 4t - 1 \]

Теперь найдем скорости для каждой точки, взяв производные от уравнений пути по времени:

Скорость точки 1: \[ v_1(t) = \frac{dx_1(t)}{dt} = 8t \]

Скорость точки 2: \[ v_2(t) = \frac{dx_2(t)}{dt} = 6t + 4 \]

Теперь найдем моменты времени, когда пройденные расстояния точек равны, решив уравнение \( x_1(t) = x_2(t) \):

\[ 4t^2 + 2 = 3t^2 + 4t - 1 \] \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \] \[ (t-1)(t-3) = 0 \]

Отсюда получаем, что \( t = 1 \) секунда и \( t = 3 \) секунды.

5. Нахождение скоростей в найденные моменты времени:

Теперь найдем скорости точек в моменты времени \( t = 1 \) секунда и \( t = 3 \) секунды.

Для \( t = 1 \) секунда: \[ v_1(1) = 8 \cdot 1 = 8 \, \text{м/с} \] \[ v_2(1) = 6 \cdot 1 + 4 = 10 \, \text{м/с} \]

Для \( t = 3 \) секунды: \[ v_1(3) = 8 \cdot 3 = 24 \, \text{м/с} \] \[ v_2(3) = 6 \cdot 3 + 4 = 22 \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорости движения точек в моменты времени, когда пройденные ими расстояния равны, равны: - В момент времени \( t = 1 \) секунда: \( v_1 = 8 \, \text{м/с} \) и \( v