Question

Найдите количество различных корней уравнения (2sinx-sgrt3)(2cosx-1)=0 на отрезке [-90;540]

Answer 1

2Sin x - √3 = 0                                или                   2Сos x -1 = 0
2Sin x = √3                                                               2Cos x = 1
Sin x = √3/2                                                              Cos x = 1/2
x = (-1)^n arcSin√3/2 + nπ , n ∈Z                            x = +- arcCos 1/2 + 2πk, k ∈Z
x = (-1)^n ·π/3 + nπ , n ∈Z                                      x = =-π/3 + 2πk . k ∈Z
Все эти числа лучше показать на числовой прямой. Увидеть:
-π/3, π/3, 2π/3 , 5π/3, 7π/3, 8π/3

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим уравнение \( (2\sin x - \sqrt{3})(2\cos x - 1) = 0 \) и найдем количество различных корней этого уравнения на отрезке \([-90;540]\).

Решение

1. Нахождение корней уравнения: - Уравнение \( (2\sin x - \sqrt{3})(2\cos x - 1) = 0 \) будет иметь корни, когда каждый из множителей равен нулю: \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\) или \(2\cos x - 1 = 0\). - Решим уравнения \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\) и \(2\cos x - 1 = 0\) для нахождения корней.

2. Решение уравнения \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\): - \(2\sin x = \sqrt{3}\) - \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - Решениями этого уравнения на отрезке \([-90;540]\) будут углы, для которых синус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Такие углы находятся в первом и втором квадрантах, их значения \(x_1 = 60^\circ\) и \(x_2 = 120^\circ\).

3. Решение уравнения \(2\cos x - 1 = 0\): - \(2\cos x = 1\) - \(\cos x = \frac{1}{2}\) - Решениями этого уравнения на отрезке \([-90;540]\) будут углы, для которых косинус равен \(\frac{1}{2}\). Такие углы находятся в первом и четвертом квадрантах, их значения \(x_3 = 60^\circ\) и \(x_4 = 300^\circ\).

4. Итоги: - Уравнение имеет 4 корня на отрезке \([-90;540]\). - Корни уравнения: \(x_1 = 60^\circ\), \(x_2 = 120^\circ\), \(x_3 = 60^\circ\), \(x_4 = 300^\circ\).

Таким образом, количество различных корней уравнения \( (2\sin x - \sqrt{3})(2\cos x - 1) = 0 \) на отрезке \([-90;540]\) составляет 4.