Question

Корни квадратного уравнения x^2* px*q = 0 являются целыми числами. Найти p и q, если p +q=112.

Answer 1

Корни уравнения x^2 + px + q = 0 - это целые числа x1 и x2.
По теореме Виета
x1 + x2 = -p
x1*x2 = q
По условию
p + q = -x1 - x2 + x1*x2 = 112
Выразим x2 через x1
x2*(x1 - 1) = 112 + x1
x2 = (112 + x1)/(x1 - 1) = (x1 - 1 + 113)/(x1 - 1) = 1 + 113/(x1 - 1)
Так как x1 и x2 - целые, то 113  делится на (x1 - 1) нацело.
Но 113 - простое число, 113 = 1*113 = (-1)(-113), значит:
1) x1 - 1 = 1; x1 = 2; x2 = 1 + 113/1 = 114
x^2 + px + q = (x - 2)(x - 114); p = -116; q = 228
2) x1 - 1 = 113; x1 = 114; x2 = 1 + 113/113 = 2; p = -116; q = 228
3) x1 - 1 = -1; x1 = 0; x2 = 1 + 113/(-1) = -112; p = 112; q = 0
4) x1 - 1 = -113; x1 = -112; x2 = 1 + 113/(-113) = 0; p = 112; q = 0

Answer 2

Для того чтобы найти значения p и q, мы можем использовать метод разложения квадратного уравнения на множители.

У нас есть уравнение вида x^2 + px + qx = 0.

Мы знаем, что корни этого уравнения являются целыми числами, поэтому мы можем представить уравнение в виде (x + m)(x + n) = 0, где m и n - корни уравнения.

Из этого следует, что p = -m - n и q = mn.

Также из условия задачи известно, что p + q = 112.

Теперь найдем все пары целых чисел m и n, для которых m*n = q и m + n = -p.

Мы можем перебрать все возможные пары целых чисел, начиная с 1 и заканчив