Question

Проінтегруйте рівняння другого порядку y’’=arctg x

Answer 1

дивіться фото.......................

Answer 2

Щоб інтегрувати рівняння другого порядку з дійсними функціями, потрібно здійснити дві інтеграції. Однак у вашому випадку, рівняння має вигляд:

\[ y'' = \arctan(x) \]

Для інтегрування цього рівняння, спочатку ми здійснимо першу інтеграцію по x для отримання першої похідної:

\[ y' = \int \arctan(x) \,dx \]

Знаючи, що похідна арктангенса \( \arctan(x) \) є \( \frac{1}{1+x^2} \), ми можемо використати це, щоб здійснити інтеграцію:

\[ y' = \int \arctan(x) \,dx = \int \frac{1}{1+x^2} \,dx \]

Далі, ми можемо інтегрувати це вираз:

\[ y' = \tan^{-1}(x) + C_1 \]

Тут \( C_1 \) - це константа інтегрування.

Тепер, ми можемо здійснити другу інтеграцію для отримання вихідної функції y:

\[ y = \int (\tan^{-1}(x) + C_1) \,dx \]

Це теж можна інтегрувати, використовуючи властивості інтегралів та сумування констант:

\[ y = \int \tan^{-1}(x) \,dx + \int C_1 \,dx \]

\[ y = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1x + C_2 \]

Тут \( C_2 \) - ще одна константа інтегрування.

Отже, рішення виглядає так:

\[ y = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1x + C_2 \]

де \( C_1 \) і \( C_2 \) - константи інтегрування, які можуть бути знайдені за допомогою початкових умов задачі Коші або інших методів.