Question

Застосування визначеного інтеграла. Задано рівняння швидкості v = f (t). Визначити переміщення за n секунд починаючи з t0 секунди v = t³ + t² - 4t + 2 n = 3 T0 = 0 Як вирішити?

Answer 1

Ответ:

перемещение за 3 секунды равно 17,25 ед.

Пошаговое объяснение:

Путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t₀ до t₁, вычисляется по формуле

$\dishlaystyle S=\int\limits^{t_1}_{t_0}{v(t)} \, dt$

В нашем случае

v(t) = t³ + t² – 4t + 2

t₀ = 0

t₁ = 3

Считаем путь при таких данных

$\displaystyle S=\int\limits^{3}_{0}{(t^3+t^2-4t+2)} \, dt =\bigg(\frac{t^4}{4} +\frac{t^3}{3} -4\frac{t^2}{2} +2t\bigg)\bigg|_0^3=\frac{81}{4} +9-18+6=\\\\=\frac{69}{4}=17,25$

#SPJ1

Answer 2

Задано рівняння швидкості v = f(t), де f(t) = t³ + t² - 4t + 2. Необхідно визначити переміщення за n секунд, починаючи з t0 секунди.

Переміщення можна знайти, обчисливши визначений інтеграл від швидкості за відповідний інтервал часу.

Спочатку знайдемо визначений інтеграл від f(t) за інтервал часу [t0, t0 + n]:

∫[t0, t0 + n] f(t) dt

Для обчислення цього інтегралу, спочатку знайдемо невизначений інтеграл функції f(t):

∫f(t) dt = ∫(t³ + t² - 4t + 2) dt

Інтегруємо кожен доданок окремо:

∫t³ dt = (1/4)t^4 + C1, ∫t² dt = (1/3)t^3 + C2, ∫-4t dt = -2t^2 + C3, ∫2 dt = 2t + C4,

де C1, C2, C3, C4 - довільні константи.

Тепер знаходимо визначений інтеграл від f(t) за інтервал часу [t0, t0 + n]:

∫[t0, t0 + n] f(t) dt = [(1/4)t^4 + C1] [t0, t0 + n] + [(1/3)t^3 + C2] [t0, t0 + n] - [2t^2 + C3] [t0, t0 + n] + [2t + C4] [t0, t0 + n]

Розгортаємо це вираз:

= [(1/4)(t0 + n)^4 + C1] - [(1/4)t0^4 + C1] + [(1/3)(t0 + n)^3 + C2] - [(1/3)t0^3 + C2] - [2(t0 + n)^2 + C3] + [2t0^2 + C3] + [2(t0 + n) + C4] - [2t0 + C4]

Спрощуємо:

= (1/4)(t0 + n)^4 - (1/4)t0^4 + (1/3)(t0 + n)^3 - (1/3)t0^3 - 2(t0 + n)^2 + 2t0^2 + 2(t0 + n) - 2t0

Отримали вираз для переміщення за n секунд, починаючи з t0 секунди.