Question

Для функції знайти первісну f(x)=8^3+3x^2-4-2, графік якої проходить через точку: A(-1; 2)

Answer 1

дивіться фото..............................

Answer 2

Щоб знайти первісну функції \( f(x) = 8^3 + 3x^2 - 4x - 2 \), спочатку треба знайти антипохід (інтегрування) цієї функції. Антипохід - це зворотний процес до похідної. Знаходження антипохіду дозволяє знайти функцію, похідною якої є задана функція.

Спершу розглянемо функцію \( f(x) = 8^3 + 3x^2 - 4x - 2 \):

\[ F(x) = \int f(x) \,dx \]

Знайдемо антипохід кожного окремого члена:

\[ \int 8^3 \,dx = 512x \]

\[ \int 3x^2 \,dx = x^3 \]

\[ \int -4x \,dx = -2x^2 \]

\[ \int -2 \,dx = -2x \]

Тепер зіберемо їх разом:

\[ F(x) = 512x + x^3 - 2x^2 - 2x + C \]

Тут \( C \) - константа інтегрування, яку ми додаємо, оскільки під час інтегрування ми втрачаємо константу. Так як ми не маємо конкретних меж інтегрування, то не можемо визначити значення константи безпосередньо.

Тепер, оскільки графік проходить через точку \( A(-1, 2) \), ми можемо використовувати це значення для визначення константи:

\[ F(-1) = 512(-1) + (-1)^3 - 2(-1)^2 - 2(-1) + C = -512 - 1 + 2 - 2 + C = -511 + C \]

Так як \( F(-1) \) рівне значенню функції у точці \( A \), яке дорівнює 2, ми можемо записати:

\[ -511 + C = 2 \]

Отже, \( C = 513 \).

Загальний вигляд первісної функції \( F(x) \) тепер виглядає так:

\[ F(x) = 512x + x^3 - 2x^2 - 2x + 513 \]

Це є розв'язком інтегралу та відповідає первісні функції \( f(x) \).