Question

50 балів, дуже потрібно. Знайти похідну функції у(х), що задана неявно рівнянням. y-cos(x-y)=0.

Answer 1

Ответ:

$f'(x;y)=\frac{sin(x-y)}{sin(x-y)-1}.$

Пошаговое объяснение:

существует два способа, результат одинаков:

1) непосредственное взятие производной с последующим выделением y';

2) нахождение производной при помощи частных производных (специальная формула).

Детали во вложении.

Answer 2

Щоб знайти похідну функції у(x), що задана неявно рівнянням y - cos(x - y) = 0, ми скористаємося правилом диференціювання неявних функцій.

Правило диференціювання неявних функцій

Правило диференціювання неявних функцій використовується, коли функція задана неявно за допомогою рівняння. Для знаходження похідної такої функції, ми диференціюємо обидві частини рівняння за змінною x і вирішуємо відносно похідної.

Крок 1: Диференціювання обох частин рівняння

Диференціюємо обидві частини рівняння y - cos(x - y) = 0 за змінною x. Застосовуючи правило ланцюжків, отримуємо:

d/dx(y) - d/dx(cos(x - y)) = d/dx(0)

Помітимо, що d/dx(0) дорівнює 0, тому останній доданок в лівій частині рівняння відсутній.

Крок 2: Знаходження похідних

Диференціюємо ліву частину рівняння по одній змінній x та y:

d/dx(y) - d/dx(cos(x - y)) = 0

Диференціювання змінної y відносно x дає нам d/dx(y) = dy/dx.

Диференціюємо cos(x - y) відносно x, використовуючи правило диференціювання складеної функції:

d/dx(cos(x - y)) = -sin(x - y) * d/dx(x - y)

Зауважимо, що d/dx(x - y) дорівнює 1, оскільки похідна змінної x відносно себе самої рівна 1, а похідна змінної y відносно x рівна dy/dx.

Крок 3: Об'єднання похідних

Після диференціювання обох частин рівняння та знаходження похідних, ми можемо об'єднати результати:

dy/dx - (-sin(x - y) * 1) = 0

Пошук похідної у(x) підставляється як dy/dx.

Крок 4: Вирішення відносно похідної

Розв'язавши відносно похідної, отримуємо:

dy/dx + sin(x - y) = 0

Отже, похідна функції у(x), заданої неявно рівнянням y - cos(x - y) = 0, дорівнює -sin(x - y).

Якщо вам потрібно знайти значення похідної у конкретній точці x, ви можете підставити це значення у вираз -sin(x - y) та використати відоме значення y, щоб отримати значення похідної dy/dx. Наприклад, якщо ви хочете знайти похідну у точці x = a, ви можете підставити x = a та відповідне значення y у вираз -sin(x - y) і обчислити результат.