Question

Потрібно швидко виконати Завдання: Похідна функції, що задана неявно Задача: Знайти похідну функції, якщо ⅇ^x × sin⁡(y) -ⅇ^(-y) × cos⁡(x) = 0

Answer 1

Щоб знайти похідну функції, що задана неявно, використовуємо правило диференціювання неявної функції. Застосуємо це правило до даного рівняння:

ⅇ^x × sin⁡(y) -ⅇ^(-y) × cos⁡(x) = 0

Диференціюємо обидві частини рівняння за змінною x:

(ⅇ^x × sin⁡(y))' - (ⅇ^(-y) × cos⁡(x))' = 0

Диференціюємо кожен доданок окремо. За правилом диференціювання добутку, маємо:

(ⅇ^x × sin⁡(y))' = (ⅇ^x)' × sin⁡(y) + ⅇ^x × (sin⁡(y))'

(ⅇ^(-y) × cos⁡(x))' = (ⅇ^(-y))' × cos⁡(x) + ⅇ^(-y) × (cos⁡(x))'

За правилом диференціювання експоненти, маємо:

(ⅇ^x)' = ⅇ^x

(ⅇ^(-y))' = -ⅇ^(-y)

Також, похідна синуса і косинуса:

(sin⁡(y))' = cos⁡(y)

(cos⁡(x))' = -sin⁡(x)

Підставимо ці значення у початкове рівняння:

ⅇ^x × sin⁡(y) + ⅇ^x × cos⁡(y) + ⅇ^(-y) × sin⁡(x) - ⅇ^(-y) × cos⁡(x) = 0

Тепер згрупуємо подібні доданки:

ⅇ^x × (sin⁡(y) + cos⁡(y)) + ⅇ^(-y) × (sin⁡(x) - cos⁡(x)) = 0

Отже, похідна функції за змінною x буде:

d/dx (sin⁡(y) + cos⁡(y)) + d/dx (sin⁡(x) - cos⁡(x)) = 0

(cos⁡(y) - sin⁡(y)) + (cos⁡(x) + sin⁡(x)) = 0

Таким чином, похідна функції, заданої неявно, буде:

dy/dx = -(cos⁡(x) + sin⁡(x))/(cos⁡(y) - sin⁡(y))