Question

Розв'язати систему рівнянь методом Гауса ДУЖЕ СРОЧНО 2x1+3x2-x3=2 x1-x2+3x3x3=-4 3x1+5x2+x3=4

Answer 1

Решение:

2x1 + 3x2 - x3 = 2

x1 - x2 + 3x3 = -4

3x1 + 5x2 + x3 = 4

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

2        3      -1        2

1      -1        3       -4

3       5        1         4

1-ую строку делим на 2

1      1.5     -0.5     1

1      -1        3      -4

3       5        1        4

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3

1      1.5      -0.5      1

0     -2.5      3.5     -5

0      0.5       2.5      1

2-ую строку делим на -2.5

1      1.5       -0.5      1

0       1        -1.4      2

0     0.5        2.5       1

от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 1.5; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 0.5

1         0       1.6       -2

0         1      -1.4        2

0         0       3.2        0

3-ую строку делим на 3.2

1        0          1.6        -2

0        1         -1.4        2

0        0          1           0

от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 1.6; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1.4

1          0        0          -2

0         1         0           2

0         0         1          0

x1 = -2

x2 = 2

x3 = 0

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

2·(-2) + 3·2 - 0 = -4 + 6 + 0 = 2

(-2) - 2 + 3·0 = -2 - 2 + 0 = -4

3·(-2) + 5·2 + 0 = -6 + 10 + 0 = 4

Проверка выполнена успешно.

Ответ:

x1 = -2

x2 = 2

x3 = 0

Answer 2

Щоб розв'язати дану систему рівнянь методом Гауса, спочатку перетворимо її на розширену матрицю. Розширена матриця системи має вигляд:

2   3  -1  |  2
1  -1   3  | -4
3   5   1  |  4

Метод Гауса передбачає застосування елементарних перетворень рядків для зведення матриці до ступеневого вигляду. Мета полягає у тому, щоб зробити нульовими всі елементи під діагоналлю матриці.

Крок 1: Перша ступінь матриці

Ми хочемо отримати ненульовий елемент на першому рядку і першому стовпці. Якщо перший елемент (2) не нульовий, то ми можемо перейти до наступного кроку. В іншому випадку, ми маємо обміняти перший рядок з іншим рядком, в якому перший елемент не нульовий. В нашому випадку, ми можемо обміняти перший рядок з другим:

1  -1   3  | -4
2   3  -1  |  2
3   5   1  |  4

Крок 2: Друга ступінь матриці

Тепер ми хочемо зробити елемент під першим елементом (2) нульовим. Для цього, ми можемо взяти другий рядок, помножити його на (-2) і додати до першого рядка:

1  -1   3  | -4
0   5  -7  |  10
3   5   1  |  4

Крок 3: Третя ступінь матриці

Тепер ми хочемо зробити елемент під другим елементом (5) нульовим. Для цього, ми можемо взяти третій рядок, помножити його на (-3) і додати до першого рядка:

1  -1   3  | -4
0   5  -7  |  10
0  20  -8  |  16

Крок 4: Четверта ступінь матриці

Тепер ми хочемо зробити елемент під другим елементом (20) нульовим. Для цього, ми можемо взяти третій рядок, помножити його на (-4) і додати до другого рядка:

1  -1   3  | -4
0   5  -7  |  10
0   0  20  |  -4

Крок 5: Нормалізація

Тепер ми хочемо нормалізувати першу і другу рядки, щоб отримати одиниці на діагоналі. Для цього, ми можемо поділити перший рядок на 3 і другий рядок на 5:

1  -1   3  | -4
0   1  -7/5|  2
0   0  20  |  -4

Крок 6: Зворотні підстановки

Тепер ми можемо здійснити зворотні підстановки, щоб знайти значення змінних. Почнемо з останнього рядка:

20z = -4 => z = -4/20 = -1/5

x - y + 3z = -4 => x - y + 3(-1/5) = -4 => x - y - 3/5 = -20/5 => x - y = -17/5

y - (7/5)z = 2 => y - (7/5)(-1/5) = 2 => y + 7/25 = 50/25 => y = 43/25

Таким чином, розв'язок системи рівнянь методом Гауса буде:

x = -17/5 y = 43/25 z = -1/5

Це розв'язок даної системи рівнянь.