Question

Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t выражается формулой v=6t^2-9t. Найдите путь , пройденный точкой за время от t=2с до t=6с.

Answer 1

Ответ:

Скорость - производная от пути по времени , значит путь - первообразная от скорости .

$\displaystyle S=\int\limits_2^6\, (6t^2-9t)\, dt=\Big(6\cdot \frac{t^3}{3}-9\cdot \frac{t^2}{2}\Big)\Big|_2^6=\Big(2t^3-4,5t^2\Big)\Big|_2^6=\\\\=(2\cdot 6^3-4,5\cdot 6^2)-(2\cdot 2^3-4,5\cdot 2^2)=\\\\=432-162-16+18=272$  

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного точкой за определенное время, мы можем воспользоваться формулой для пути, интегрируя уравнение скорости относительно времени. Уравнение скорости дано в виде \(v = 6t^2 - 9t\). Для нахождения уравнения пути (\(s\)), нужно проинтегрировать уравнение скорости.

\[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 - 9t) \, dt \]

Интегрируем по отдельным членам:

\[ s(t) = 2t^3 - \frac{9}{2}t^2 + C \]

Теперь, чтобы найти константу интегрирования (\(C\)), мы можем использовать начальное условие. У нас есть момент времени \(t = 2\) секунды. Подставим это значение в уравнение пути:

\[ s(2) = 2(2)^3 - \frac{9}{2}(2)^2 + C \]

\[ s(2) = 16 - 18 + C \]

\[ s(2) = -2 + C \]

Теперь, у нас есть значение \(s(2)\). Нам также нужно значение \(s(6)\), так как мы ищем путь за период от \(t = 2\) до \(t = 6\). Подставим \(t = 6\) в уравнение пути:

\[ s(6) = 2(6)^3 - \frac{9}{2}(6)^2 + C \]

\[ s(6) = 432 - 162 + C \]

\[ s(6) = 270 + C \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(s(2) = -2 + C\) 2. \(s(6) = 270 + C\)

Решим систему уравнений:

\[ -2 + C = 270 + C \]

Отсюда получаем, что \(C\) сокращается, и \( -2 = 270 \), что неверно. Вероятно, я допустил ошибку в процессе. Позвольте мне проверить еще раз.

Интегрируем уравнение скорости:

\[ s(t) = 2t^3 - \frac{9}{2}t^2 + C \]

Теперь, применим начальные условия:

\[ s(2) = 2(2)^3 - \frac{9}{2}(2)^2 + C \]

\[ s(2) = 16 - 18 + C \]

\[ s(2) = -2 + C \]

Теперь, используем второе начальное условие:

\[ s(6) = 2(6)^3 - \frac{9}{2}(6)^2 + C \]

\[ s(6) = 432 - 162 + C \]

\[ s(6) = 270 + C \]

Теперь мы видим, что \(s(6) = 270 + C\), что соответствует нашему предыдущему выводу.

Таким образом, кажется, что у меня была ошибка в решении системы уравнений. Извините за путаницу. Верное решение:

1. \(s(2) = -2 + C\) 2. \(s(6) = 270 + C\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ s(6) - s(2) = (270 + C) - (-2 + C) \]

\[ s(6) - s(2) = 272 \]

Таким образом, путь, пройденный точкой за время от \(t = 2\) секунд до \(t = 6\) секунд, равен 272 метрам.