Question

Найдите площадь трапеции вершины которой имеют координаты (1 1) (10 1) (7 8) (2 8)

Answer 1

Длины оснований: 1 скрин
Площадь трапеции - произведение полусуммы оснований и высоты. Высота здесь параллельна оси OY и равна (8-1) = 7. 
а Высота S второй скрин 

Answer 2

Для нахождения площади трапеции по координатам её вершин можно воспользоваться формулой, которая выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \]

где \( a \) и \( b \) - длины параллельных сторон трапеции, \( h \) - высота трапеции.

Нахождение длин сторон трапеции

Для нахождения длин сторон трапеции можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \( d \) - расстояние между точками с координатами \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \).

Применяя эту формулу к нашей трапеции, получим:

Длина стороны \( a \): \[ a = \sqrt{(10 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{9^2 + 0^2} = 9 \]

Длина стороны \( b \): \[ b = \sqrt{(7 - 2)^2 + (8 - 8)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 \]

Нахождение высоты трапеции

Высоту трапеции можно найти, зная длину одной из её сторон и расстояние между параллельными сторонами. Поскольку вершина трапеции (1,1) и (10,1) образуют основание, а вершина (7,8) лежит на высоте, то высота трапеции будет равна расстоянию между точкой (7,8) и прямой, содержащей сторону трапеции (1,1) и (10,1).

Нахождение расстояния между точкой и прямой

Расстояние \( d \) между точкой \( (x_0, y_0) \) и прямой \( Ax + By + C = 0 \) можно найти по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

где \( A = y_2 - y_1 \), \( B = x_1 - x_2 \), \( C = x_2y_1 - x_1y_2 \).

Применяя эту формулу к нашей трапеции, получим уравнение прямой, содержащей сторону трапеции (1,1) и (10,1): \[ y = 1 \]

Теперь можем найти расстояние от точки (7,8) до этой прямой: \[ d = \frac{|1 \times 7 + 0 \times 8 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|7|}{1} = 7 \]

Нахождение площади трапеции

Теперь, когда у нас есть длины сторон \( a \) и \( b \), а также высота \( h \), мы можем рассчитать площадь трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \times (9 + 5) \times 7 = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49 \]

Таким образом, площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1,1), (10,1