Question

Вычислите следующий предел limit[(sqrt(1 + 1/n) + sqrt(1 + 2/n) + sqrt(1 + 3/n) +.....+ sqrt(1 + n/n)) / n), n --> infinity]

Answer 1

Воспользуемся следующей формулой
$\int_a^bf(x)dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(a+\frac{k(b-a)}{n})$
Для нашего предела
$a=1;b=2;f(x)=\sqrt x\\\int_1^2\sqrt x dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_1^2=\frac{2}{3}(2\sqrt2-1)$

Answer 2

Чтобы вычислить данный предел, мы можем использовать интегралы. Для начала, давайте преобразуем выражение в интегральную форму.

Заметим, что предел можно переписать следующим образом:

lim(n->∞) [(sqrt(1 + 1/n) + sqrt(1 + 2/n) + sqrt(1 + 3/n) + ... + sqrt(1 + n/n)) / n]

Мы можем представить это выражение в виде интеграла следующим образом:

∫(0 to 1) sqrt(1 + x) dx

Теперь, чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Пусть u = sqrt(1 + x) и dv = dx. Тогда du = (1/2) * (1 + x)^(-1/2) dx и v = x.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, мы получаем:

∫(0 to 1) sqrt(1 + x) dx = [(x * sqrt(1 + x)) | (0 to 1)] - ∫(0 to 1) x * (1/2) * (1 + x)^(-1/2) dx

Вычисляя границы интеграла, получаем:

[(1 * sqrt(1 + 1) - 0 * sqrt(1 + 0))] - ∫(0 to 1) x * (1/2) * (1 + x)^(-1/2) dx

Упрощая, получаем:

sqrt(2) - ∫(0 to 1) (1/2) * x * (1 + x)^(-1/2) dx

Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Для этого мы можем использовать замену переменной, пусть t = 1 + x. Тогда dt = dx и x = t - 1. Подставив эти значения, получаем:

sqrt(2) - ∫(1 to 2) (1/2) * (t - 1) * t^(-1/2) dt

Упрощая, получаем:

sqrt(2) - ∫(1 to 2) (1/2) * (t^(1/2) - t^(-1/2)) dt

Вычисляя этот интеграл, получаем:

sqrt(2) - [(2/3) * t^(3/2) - 2 * t^(1/2)] | (1 to 2)

Вычисляя границы интеграла, получаем:

sqrt(2) - [(2/3) * (2^(3/2) - 1^(3/2)) - 2 * (2^(1/2) - 1^(1/2))]

Упрощая, получаем:

sqrt(2) - [(2/3) * (2 * sqrt(2) - 1) - 2 * (sqrt(2) - 1)]

Упрощая дальше, получаем:

sqrt(2) - [2 * sqrt(2)/3 - 2/3 - 2 * sqrt(2) + 2]

Упрощая еще раз, получаем:

sqrt(2) - [2 * sqrt(2)/3 - 2 * sqrt(2)/3 + 2 - 2/3]

Упрощая окончательно, получаем:

sqrt(2) - 2/3

Таким образом, предел выражения равен sqrt(2) - 2/3.