Question

Помогите!!! Провести полное исследование функции y=x^2+2x

Answer 1

Хорошо, проведем полное исследование функции y = x^2 + 2x.

Определение области определения функции:
Функция y = x^2 + 2x является квадратичной функцией, и она определена для любого вещественного числа x. Таким образом, область определения функции y = x^2 + 2x составляет все вещественные числа.
Анализ симметрии функции:
Функция y = x^2 + 2x является параболой, и ее график симметричен относительно вертикальной оси y (ось ординат), так как она содержит только четные степени переменной x.
Нахождение вершин параболы:
Для нахождения вершин параболы, можно воспользоваться формулами x = -b/(2a) и y = f(x), где a и b - коэффициенты квадратного члена и линейного члена соответственно.
В данной функции, a = 1, b = 2, поэтому можно подставить эти значения в формулы:
x = -2/(21) = -1
y = (-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3
Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -3).
Исследование на возрастание/убывание:
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, нужно определить знак производной функции y = x^2 + 2x. Производная функции y = x^2 + 2x находится с помощью правила дифференцирования степенной функции и линейной функции:
y' = 2x + 2
Для нахождения критических точек, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:
2x + 2 = 0
2x = -2
x = -1
Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = -1.

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам провести полное исследование функции y = x^2 + 2x. Давайте начнем с построения графика этой функции.

Построение графика

Для построения графика функции y = x^2 + 2x нам нужно найти несколько точек на плоскости. Для этого мы можем выбрать несколько значений для переменной x и вычислить соответствующие значения y. Вот несколько точек, которые мы можем выбрать:

x = -2, y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 x = -1, y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 x = 0, y = (0)^2 + 2(0) = 0 + 0 = 0 x = 1, y = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 x = 2, y = (2)^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8

Теперь, когда у нас есть несколько точек, мы можем построить график функции на координатной плоскости. Вот как он выглядит:


Анализ функции

Теперь, когда у нас есть график функции, давайте проведем полное исследование функции y = x^2 + 2x.

Область определения: Функция y = x^2 + 2x определена для всех значений переменной x, то есть для любого вещественного числа.

Знак функции: Для анализа знака функции, нам нужно найти интервалы, где функция положительна или отрицательна. Заметим, что у функции y = x^2 + 2x квадратичный член положительный (x^2), поэтому функция будет положительной, если x находится за пределами интервала (-бесконечность, -2) и (0, +бесконечность), и отрицательной, если x находится в интервале (-2, 0).

Вершина параболы: Функция y = x^2 + 2x имеет параболическую форму и может быть записана в виде y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы. Для нашей функции, коэффициент a = 1, h = -1 и k = 1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, 1).

Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями, мы можем приравнять y к нулю и решить уравнение. Для нашей функции, y = x^2 + 2x, мы можем записать уравнение x^2 + 2x = 0. Решая это уравнение, мы получаем два значения для x: x = 0 и x = -2. Таким образом, функция пересекает ось x в точках (0, 0) и (-2, 0).

Монотонность: Функция y = x^2 + 2x является восходящей на интервале (-бесконечность, -1) и нисходящей на интервале (-1, +бесконечность). Это означает, что функция увеличивается по мере увеличения x на интервале (-бесконечность, -1) и уменьшается по мере увеличения x на интервале (-1, +бесконечность).

Экстремумы: Функция y = x^2 + 2x имеет минимум в точке (-1, 1), которая является вершиной параболы.

Выпуклость: Функция y = x^2 + 2x является выпуклой вверх на всей области определения, так как коэффициент при x^2 положительный.

Асимптоты: У функции y = x^2 + 2x нет вертикальных асимптот. Горизонтальная асимптота отсутствует, так как график функции не стремится к определенному значению при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Заключение

Таким образом, проведя полное исследование функции y = x^2 + 2x, мы построили ее график, анализировали область определения, знак функции, вершину параболы, точки пересечения с осями, монотонность, экстремумы, выпуклость и отсутствие асимптот. Надеюсь, что эта информация полезна для вас! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.