Question

Даю 25 баллов Решить однородное уравнение y''-4y'+5y=0 y''+y'=2y=0

Answer 1

Ответ:

Решимо спочатку рівняння y''-4y'+5y=0.

Характеристичне рівняння має вигляд λ^2 - 4λ + 5 = 0, яке має комплексні корені λ1 = 2 + i та λ2 = 2 - i. Отже, загальний розв'язок цього однорідного диференціального рівняння має вигляд:

y = c1*e^(2x)*cos(x) + c2*e^(2x)*sin(x), де c1 та c2 - довільні сталі.

Тепер розв'яжимо y'' + y' + 2y = 0.

Характеристичне рівняння має вигляд λ^2 + λ + 2 = 0 і має комплексні корені λ1 = -1 - i та λ2 = -1 + i. Отже, загальний розв'язок цього однорідного диференціального рівняння має вигляд:

y = c1*e^(-x)*cos(x) + c2*e^(-x)*sin(x), де c1 та c2 - довільні сталі.

Пошаговое объяснение:

Чи можна найкращу відповідь будь ласка?

Answer 2

Для решения данного однородного уравнения с постоянными коэффициентами y'' - 4y' + 5y = 0, мы будем искать решение в виде y = e^(rx), где r - это неизвестная константа. Подставляя это в уравнение, получим:

r^2e^(rx) - 4re^(rx) + 5e^(rx) = 0

Факторизуя общий множитель e^(rx), получаем следующее:

e^(rx)(r^2 - 4r + 5) = 0

Уравнение e^(rx) = 0 не имеет ненулевых решений, поэтому мы фокусируемся на уравнении в скобках:

r^2 - 4r + 5 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение используя стандартную формулу для нахождения корней:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -4, c = 5. Подставляем значения:

r = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4*1*5)) / (2*1) = (4 ± √(16 - 20)) / 2 = (4 ± √(-4)) / 2

Мы получаем два комплексных корня, так как дискриминант (-4) меньше нуля:

r = (4 ± 2i) / 2 = 2 ± i

Итак, имеем два корня: r1 = 2 + i и r2 = 2 - i.

Так как наше исходное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка, общее решение будет иметь вид y = c1e^(r1x) + c2e^(r2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Итак, общее решение для данного однородного уравнения выглядит так:

y = c1e^((2 + i)x) + c2e^((2 - i)x)

Вот как мы можем решить данный случай однородного уравнения. Если у вас есть другие уравнения или у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!