Question

Знайти найбільші і найменші значення функції [-2;0]​

Answer 1

$f(x) = ( {x}^{2} - 1)(x + 1) = {x}^{3} + {x}^{2} - x - 1 \\ f'(x) = 3 {x}^{3 - 1} + 2 {x}^{2 - 1} - x {}^{1 - 1} = 3 {x}^{2} + 2x - 1 \\ 3 {x}^{2} + 2x - 1 = 0 \\ a =3\\ b =2\\ c = - 1\\ D = {b}^{2} - 4ac = {2}^{2} - 4 \times 3 \times ( - 1) = 4 + 12 = 16 \\ x_{1} = \frac{ - 2 - 4}{2 \times 3} = - \frac{6}{6} = - 1 \\ x_{2} = \frac{ - 2 + 4}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ + + + + [ - 1] - - - - [ \frac{1}{3} ] + + + + \\ x_{max} = - 1 \\ x_{min} = \frac{1}{3} \\ \\ y( - 2) = ( - 2) {}^{3} + ( - 2) {}^{2} - ( - 2) - 1 = \\ = - 8 + 4 + 2 - 1 = - 3 \\ \\ y( - 1) = ( - 1) {}^{3} + ( - 1) {}^{2} - ( - 1) - 1 = - 1 + 1 + 1 - 1 = 0 \\ \\ y(0) = {0}^{3} + 0 {}^{2} - 0 - 1 = - 1$

Ответ: у max = 0 ; y min = - 3

Answer 2

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції на інтервалі [-2, 0], вам потрібно взяти похідну функції та розв'язати рівняння для знаходження критичних точок. Після цього слід провести аналіз другої похідної для визначення, чи це мінімум чи максимум.

Давайте позначимо вашу функцію як \(f(x)\). Отже, вам потрібно вирішити такі кроки:

1. Знайдіть похідну функції \(f'(x)\). 2. Розв'яжіть рівняння \(f'(x) = 0\) для знаходження критичних точок на інтервалі [-2, 0]. 3. Знайдіть значення другої похідної \(f''(x)\). 4. Підставте критичні точки в другу похідну, щоб визначити їхній характер (мінімум або максимум).

Якщо критична точка лежить на інтервалі [-2, 0], тоді вона буде кінцевою точкою інтервалу або точкою максимуму чи мінімуму функції на цьому інтервалі.

Нехай функція \(f(x)\) має найменше значення в точці \(x = a\) та найбільше значення в точці \(x = b\), де \(a\) та \(b\) - критичні точки на інтервалі [-2, 0].

Тримайтеся, і я покажу, як здійснити ці кроки для знаходження найменшого і найбільшого значень функції.