Question

Известно, что 5sinα−8cosα=0. Вычислить точное значение cothα. Выберите один ответ: a. -1,6 b. 1,6 c. -0,625 d. 0,625

Answer 1

Известно, что 5sinα − 8cosα=0. Вычислить точное значение cothα.

Находим значение аргумента.

5sinα = 8cosα, разделим обе части на 5cosα:

tgα = 8/5, отсюда α = arctg(8/5) ≈ 1,012197.

Гиперболический котангенс:

cth(x) = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1). Подставим переменную х = α ≈ 1,012197.

Как видим, точного значения не получить, только приближённое.

cth(x) = (e^(2*1,012197) + 1)/(e^(2*1,012197) - 1) =

(2,718281828^(2,024394023) + 1)/( 2,718281828^(2,024394023 – 1) =

= 8,571521386/6,571521386 ≈ 1,304343528.

Answer 2

Відповідь: 0,625

Покрокове пояснення:

Answer 3

Давайте решим уравнение \(5\sin\alpha - 8\cos\alpha = 0\) и найдем значение \(\coth\alpha\).

Уравнение \(5\sin\alpha - 8\cos\alpha = 0\) можно представить в виде:

\[ \frac{5}{8} \sin\alpha = \cos\alpha \]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить \(\cos\alpha\) через \(\sin\alpha\).

\[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \]

\[\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}\]

Подставим это выражение в уравнение:

\[ \frac{5}{8} \sin\alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha} \]

Умножим обе стороны на \(\tan\alpha\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \frac{5}{8} \sin\alpha \tan\alpha = \sin\alpha \]

Теперь делим обе стороны на \(\sin\alpha\):

\[ \frac{5}{8} \tan\alpha = 1 \]

Отсюда получаем:

\[ \tan\alpha = \frac{8}{5} \]

Теперь найдем \(\coth\alpha\), используя определение гиперболического котангенса:

\[ \coth\alpha = \frac{1}{\tanh\alpha} \]

Так как \(\tanh\alpha = \frac{\sinh\alpha}{\cosh\alpha}\), а \(\sinh\alpha\) и \(\cosh\alpha\) можно выразить через \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) соответственно, мы можем использовать тригонометрические тождества.

\[ \sinh\alpha = \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2} \]

\[ \cosh\alpha = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2} \]

Теперь мы можем записать \(\tanh\alpha\) и \(\coth\alpha\):

\[ \tanh\alpha = \frac{\sinh\alpha}{\cosh\alpha} = \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{e^\alpha + e^{-\alpha}} \]

\[ \coth\alpha = \frac{1}{\tanh\alpha} = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{e^\alpha - e^{-\alpha}} \]

Теперь, чтобы найти точное значение \(\coth\alpha\), нам нужно определить значение \(\alpha\). Так как у нас нет конкретного значения для \(\alpha\) в задаче, мы не можем найти точное значение \(\coth\alpha\). Вместо этого давайте оставим ответ в терминах \(\alpha\):

\[ \coth\alpha = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{e^\alpha - e^{-\alpha}} \]

Таким образом, ответ на ваш вопрос будет представлен в виде символического выражения, содержащего \(\alpha\).