Question

У рівнобедрену трапецію вписано коло радіусом 5 см. Знайти площу трапеції, якщо відстань між точками дотику кола з бічними сторонами дорівнює 8 см.

Answer 1

Отрезок OD, как биссектриса, делит угол АОН пополам.

Длина АQ по заданию равна 8/2 = 4 см.

Тогда ОQ = √(5² - 4²) = √(25 – 16) = √9 = 3 см.

Используем формулу тангенса половинного угла ROQ:

tg(x/2)= √((1-cos⁡(x))/(1+cos⁡(x))).

Косинус угла AOQ = 3/5, подставим это значение в формулу.

tg(x/2)= √((1-3/5)/(1+3/5))=√(2/8)=1/2.

Определяем длину отрезка RQ = 3*(1/2) =(3/2) см.

По условию подобия треугольников находим длину половины верхнего основания трапеции.

DH/RQ = 5/3, отсюда DH = RQ*(5/3) = (3/2)*(5/3) = (5/2) см.

Получаем длину верхнего основания DE = 2*(5/2) = 5 см.

Если из точки D опустить перпендикуляр на среднюю линию трапеции, то аналогично из подобия треугольников находим её длину.

FG = 5 + 2((8/2) – (5/2))*(5/(5 – 3)) = 5 + 2*((3/2)*(5/2)) = 12,5 см.

Отсюда получаем ответ: S = 12,5*(2*5) = 125 см².

Answer 2

Спочатку розглянемо основні властивості трапеції, щоб знайти спосіб розв'язку задачі.

У рівнобедреній трапеції, коли коло вписане, можна знайти деякі відношення між сторонами трапеції та радіусом кола. В цьому випадку радіус кола дорівнює 5 см, а відстань від точок дотику кола до бічних сторін трапеції - 8 см.

Одна з властивостей вписаного кола у трапеції полягає в тому, що відстань від точки дотику кола до будь-якої сторони трапеції дорівнює радіусу кола, що в цьому випадку - 5 см.

Отже, можемо розглядати трапецію як суму двох трикутників та круга між бічними сторонами трапеції.

Висота трапеції - це відстань між паралельними бічними сторонами трапеції, що може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора в одному з прямокутних трикутників, де катети - 5 см (половина відстані між точками дотику кола та бічними сторонами).

\[ \text{Висота трапеції} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} \approx 6.24 \, \text{см} \]

Площа круга, що вписаний у трапецію: \( \pi \times \text{радіус}^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \, \text{см}^2 \)

Тепер можемо знайти площу трапеції, яка дорівнює сумі площ двох трикутників та площі вписаного кола:

\[ \text{Площа трапеції} = \text{Площа круга} + \frac{(\text{сума основ} \times \text{висота})}{2} = 25\pi + \frac{(8 + 8) \times \sqrt{39}}{2} = 25\pi + 8\sqrt{39} \, \text{см}^2 \]

Отже, площа рівнобедреної трапеції, вписаної в коло радіусом 5 см, з відстанню між точками дотику кола та бічними сторонами 8 см, дорівнює \( 25\pi + 8\sqrt{39} \, \text{см}^2 \).