Question

Y"-2y'=0, y (0)=1/8, y'(0)=1

Answer 1

$y''-2y'=0 \\ k^2-2k=0 \\ k(k-2)=0 \\ k_1=0; k_2=2 \\ y=C_1+C_2e^{2x} \\ y'=2C_2e^{2x}$
Решим задачу Коши. 
$\left \{ {{C_1+C_2= \frac{1}{8} } \atop {2C_2=1}} \right. \\ C_2=0,5 \\ C_1=0,125-0,5=-0,375 y=0,125-0,375e^{2x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем с самого начала.

Шаг 1: Разделение переменных

Представим уравнение в виде:

\[ y - 2y' = 0 \]

Шаг 2: Перемещение переменных

Разделим обе части уравнения на y:

\[ \frac{y}{y} - 2\frac{y'}{y} = 0 \]

\[ 1 - 2\frac{y'}{y} = 0 \]

Шаг 3: Интегрирование

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной t:

\[ \int 1 dt - \int 2\frac{y'}{y} dt = \int 0 dt \]

\[ t - 2\int \frac{1}{y} dy = C \]

Шаг 4: Интегрирование по переменной y

Интегрируем \(\int \frac{1}{y} dy\):

\[ t - 2\ln|y| = C \]

Шаг 5: Нахождение константы C

Используем начальные условия \(y(0) = \frac{1}{8}\) и \(y'(0) = 1\) для определения константы C.

Когда t=0, y=1/8:

\[ 0 - 2\ln\left|\frac{1}{8}\right| = C \]

\[ -2\ln\left|\frac{1}{8}\right| = C \]

\[ -2(-3\ln{2}) = C \]

\[ 6\ln{2} = C \]

Шаг 6: Итоговое решение

Подставим значение C обратно в уравнение:

\[ t - 2\ln|y| = 6\ln{2} \]

\[ t = 2\ln|y| + 6\ln{2} \]

Это итоговое решение дифференциального уравнения.