Question

МАТЕМАТИКА 60 БАЛЛОВ Исследуйте функцию y=x^2/(x-3)

Answer 1

вот,должно быть правильно,если нет то извини

Answer 2

Для начала, посмотрим на область определения функции. Функция определена для всех значений x, кроме x=3, так как в знаменателе функции присутствует вычитание 3.

Далее, рассмотрим поведение функции при x->-∞ и x->+∞. В таких пределах функцию можно приближенно считать равной x^2/x = x, так как x^2 значительно преобладает над x-3 при очень больших и очень маленьких значениях x.

Теперь найдем точки, в которых функция имеет вертикальные асимптоты. Для этого найдем предел функции при x->3. Используем правило Лопиталя:

lim(x->3) x^2/(x-3) = lim(x->3) 2x/(1) = 6

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота x=3, и функция стремится к бесконечности при x->3- и x->3+.

Теперь найдем точки экстремума функции. Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = (2x(x-3) - x^2)/(x-3)^2 = (2x^2 - 6x - x^2)/(x-3)^2 = (x^2 - 6x)/(x-3)^2 = 0

Получаем квадратное уравнение x^2 - 6x = 0, которое имеет два корня x=0 и x=6.

Таким образом, у функции есть две точки экстремума: (0, 0) и (6, 12).

Определенность знака производной на различных интервалах помогает построить таблицу знаков производной и, соответственно, определить монотонность функции на этих интервалах. Но сначала учтем, что на интервале (3, +∞) функция не определена.

- Если x<0, то x^2 > 0, x-3 < 0 => y' > 0 => функция возрастает на (-∞, 0) - Если 0 0, x-3 < 0 => y' > 0 => функция возрастает на (0, 3) - Если x>6, то x^2 > 0, x-3 > 0 => y' > 0 => функция возрастает на (6, +∞)

Таким образом, функция убывает на интервале (3, 6).

Также, можно посмотреть на поведение функции при x->-∞ и x->+∞. В пределах данной функции, функция стремится к бесконечности.

Наконец, построим график функции:

На графике акцентируются следующие особенности: - вертикальная асимптота x=3 - точки экстремума (0, 0) и (6, 12) - монотонность функции на различных интервалах

Исследование функции y=x^2/(x-3) позволяет нам определить область определения функции, ее вертикальные асимптоты, точки экстремума и монотонность функции на различных интервалах. Это позволяет лучше понимать поведение функции и использовать ее в дальнейших математических расчетах или при анализе задач.