Question

Задача. Даны координаты трех точек: (2;1);(4;2) и (1;4). Какие координаты должна иметь четвертая точка, чтобы эти 4 точки были вершинами параллелограмма? ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

D (-1; 3)

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD — параллелограмм

A(2;1), B(4;2), C(1;4)

Найти: D

Проведём две диагонали АС и ВD.

1) Найдём координаты точки O - середины диагонали AC:

По формуле координат середины отрезка:

хО = (хА+хС)/2 = (2+1)/2 = 1,5

уО = (уА+уС)/2 = (1+4)/2 = 2,5  

O(1,5; 2,5)

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

хО = (хВ+хD)/2;    1,5 = (4+хD)/2;     хD = 3 - 4 = -1

уО = (уВ+уD)/2;    2,5 = (2+уD)/2;    уD = 5 - 2 = 3

D (-1; 3)

Answer 2

Для того чтобы четыре точки (2;1), (4;2), (1;4) и (x;y) были вершинами параллелограмма, необходимо, чтобы вектор, образованный точками (2;1), (4;2), был равен вектору, образованному точками (1;4) и (x;y).

Решение:

1. Найдем вектор, образованный точками (2;1) и (4;2): - Вектор AB = (4-2; 2-1) = (2;1).

2. Найдем вектор, образованный точками (1;4) и (x;y): - Вектор CD = (x-1; y-4) = (x-1;y-4).

3. Уравняем векторы AB и CD: - (2;1) = (x-1;y-4).

4. Решим полученную систему уравнений: - 2 = x - 1, - 1 = y - 4.

Из первого уравнения получаем: x = 3. Подставим x во второе уравнение: 1 = y - 4, откуда y = 5.

Ответ:

Четвертая точка должна иметь координаты (3;5), чтобы эти четыре точки были вершинами параллелограмма.

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что ответ был получен на основе предоставленных координат трех точек и решения системы уравнений.