Question

Правило нахождения частной производной

Answer 1

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Надеюсь помогла

Answer 2

Частная производная функции по одной из её переменных измеряет, как изменяется значение функции при изменении только этой переменной, при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для нахождения частной производной используется аналогичный процесс, как и для обычной производной, но с учетом только одной переменной.

Пусть у нас есть функция \(f(x, y)\), и мы хотим найти частную производную по переменной \(x\), обозначаемую как \(\frac{\partial f}{\partial x}\). Процесс нахождения частной производной заключается в том, чтобы дифференцировать функцию по переменной \(x\) и рассматривать переменную \(y\) как константу.

Формально это выглядит следующим образом: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h} \]

Если функция задана явно, то процесс нахождения частной производной сводится к дифференцированию каждого члена по переменной \(x\), при этом все остальные переменные рассматриваются как константы.

Например, если у нас есть функция \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2\), то частная производная по переменной \(x\) будет: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y \]

Аналогично, если нужно найти частную производную по переменной \(y\), то переменная \(x\) будет рассматриваться как константа: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y \]

Таким образом, правило нахождения частной производной сводится к дифференцированию каждого члена функции по соответствующей переменной с учетом того, что остальные переменные считаются константами.