Question

Найдите (7sina+13cosa):(5sina-17cosa), если tga=8.

Answer 1

Ответ:

$\frac{7 \sin( \alpha) + 13 \cos( \alpha ) }{5 \sin( \alpha ) - 17 \cos( \alpha ) } = \frac{7 \ \tan ( \alpha) + 13}{5 \tan ( \alpha ) - 17} = \frac{7 \times 8 + 13}{5 \times 8 - 17} = \frac{69}{23} = 3$

в первом действии сокращаем косинусы и переводим значения к тангинсам, дальше чисто математика

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами.

У нас дано: \[ \tan(\alpha) = 8 \]

Мы знаем, что \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), поэтому: \[ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 8 \]

Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: \[ \frac{7\sin(\alpha) + 13\cos(\alpha)}{5\sin(\alpha) - 17\cos(\alpha)} \]

Теперь выразим \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\) через \(\tan(\alpha)\). Известно, что \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), поэтому \(\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\).

Подставим это в числитель и знаменатель: \[ \frac{7(\tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)) + 13\cos(\alpha)}{5(\tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)) - 17\cos(\alpha)} \]

Теперь заменим \(\cos(\alpha)\) на \(\frac{1}{\tan(\alpha)}\): \[ \frac{7\tan(\alpha) + 13 \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)}}{5\tan(\alpha) - 17 \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\tan(\alpha)\) для избавления от дробей в знаменателе: \[ \frac{7\tan^2(\alpha) + 13}{5\tan^2(\alpha) - 17} \]

Теперь мы можем подставить значение \(\tan(\alpha) = 8\): \[ \frac{7 \cdot 8^2 + 13}{5 \cdot 8^2 - 17} \]

Выполнив вычисления, получим окончательный ответ.