Question

Задача 4. Дано общее уравнение кривой второго порядка. Требуется а) преобразовать уравнение к каноническому виду; б) схематически построить кривую. 7x^2 + 6y^2 - 28x - 36y + 40=0

Answer 1

Выделяем полные квадраты:

для x:

7(x²-2·2x + 2²) -7·2² = 7(x-2)²-28

для y:

6(y²-2·3y + 3²) -6·3² = 6(y-3)²-54

В итоге получаем:

7(x-2)²+6(y-3)² = 42

Разделим все выражение на 42.

(x – 2)²/6 + (y – 3)²/7 = 1 или

(x – 2)²/(√6)² + (y – 3)²/(√7)² = 1.

Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:

C(2; 3)

4. Параметры кривой.

Полуоси эллипса: a = √6, b = √7.

Так как значение b больше a, то фокусы эллипса располагаются на оси, параллельной координатной оси Оу:

Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

 c = √(b² - a²) = √(7 – 6) = √1 = 1.

F1(0;-1), F2(0;1).

С учетом центра, координаты фокусов равны:

F1(2;-1+3), F2(2;1+3) = F1(2; 2), F2(2; 4).

Тогда эксцентриситет будет равен:

e = c/b = 1/√7.

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.

Уравнения директрис для данного эллипса:

y = yo +-(b/e).

Подставив данные, получаем:

у1 = 3 - (√7/(1/√7) = 3 - 7 = -4,

у2 = 3 + (√7/(1/√7) = 3 + 7 = 10.

Более подробное решение с применением инвариантов дано во вложении.

Answer 2

а) Чтобы преобразовать уравнение к каноническому виду, мы должны завершить квадраты для переменных x и y. Для этого потребуется применить определенные алгебраические преобразования.

Начнем с группировки всех одночленов, содержащих x или y в уравнении:

7x^2 - 28x + 6y^2 - 36y + 40 = 0

Теперь мы должны завершить квадрат для переменной x. Для этого возьмем половину коэффициента при x (-28) и возведем его в квадрат (что будет равно 196). Что у нас получится, то и будем добавлять и вычитать из уравнения:

7x^2 - 28x + 196 - 196 + 6y^2 - 36y + 40 = 0

Также мы должны завершить квадрат для переменной y. Берем половину коэффициента при y (-36) и возводим его в квадрат (1296):

7x^2 - 28x + 196 + 6y^2 - 36y + 1296 - 1296 + 40 = 0

Теперь мы можем переписать уравнение с учетом завершенных квадратов:

(7x^2 - 28x + 196) + (6y^2 - 36y + 1296) - 1296 + 40 = 0

(7x^2 - 28x + 196) + (6y^2 - 36y + 1296) = 1256

Теперь мы можем факторизовать квадратные выражения:

7(x^2 - 4x + 14) + 6(y^2 - 6y + 216) = 1256

Далее, нам нужно выделить коэффициенты перед квадратными выражениями, чтобы выявить формулу канонического вида:

7(x^2 - 4x + 4 - 4 + 14) + 6(y^2 - 6y + 9 - 9 + 216) = 1256

7((x - 2)^2 - 4 + 14) + 6((y - 3)^2 - 9 + 216) = 1256

7(x - 2)^2 - 28 + 98 + 6(y - 3)^2 - 54 + 1296 = 1256

7(x - 2)^2 + 6(y - 3)^2 = 1096

Таким образом, уравнение канонической формы будет:

7(x - 2)^2 + 6(y - 3)^2 = 1096

б) Теперь построим схематическую кривую, соответствующую уравнению. Для этого сначала выделим особые точки и форму кривой.

Уравнение имеет коэффициенты 7 и 6 перед квадратными выражениями, что указывает на наличие эллипсоида в уравнении. Это означает, что мы ожидаем эллипсоид как основоную фигуру.

Центр кривой будет находиться в точке (2, 3), так как переменные x и y сокращаются по центральному члену выражений.

Поскольку коэффициенты перед квадратными выражениями положительные, эллипсоид будет ориентирован вдоль осей x и y.

Дальнейшая форма кривой будет зависеть от значения правой части уравнения (1096). Если значение правой части больше, чем коэффициенты перед квадратными выражениями, тогда кривая будет «надута». Если значение правой части меньше, чем коэффициенты перед квадратными выражениями, тогда кривая будет «сжата».

Окончательно, кривая будет выглядеть как эллипсоид, сосредоточенный в точке (2, 3) и имеющий форму, определенную значениями коэффициентов и правой части уравнения.