Question

Знайти площу фігури, обмеженої такими лініями: y=4-x^2 ; y=2+x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вот

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=2+x, нужно найти точки их пересечения, а затем посчитать интеграл разности функций между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения этих двух линий. Подставим выражение y=2+x в уравнение y=4-x^2:

2+x = 4-x^2

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

x^2 + x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение:

(x+2)(x-1) = 0

То есть x = -2 или x = 1.

Теперь посмотрим на графики этих линий, чтобы понять, как они ограничивают фигуру:

y=4-x^2 - это парабола с вершиной в точке (0,4), которая открывается вниз.

y=2+x - это прямая, которая пересекает ось y в точке (0,2) и имеет наклон вправо.

Точка пересечения лежит между x=-2 и x=1.

Теперь вычислим площадь фигуры:

S = ∫(4-x^2 - (2+x)) dx

S = ∫(2 - x^2 - x) dx

S = ∫(2 - x^2) dx - ∫x dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(2 - x^2) dx = 2x - (1/3)x^3 + C1,

∫x dx = (1/2)x^2 + C2,

где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = (2*1 - (1/3)*1^3 + C1) - (2*(-2) - (1/3)*(-2)^3 + C1) - ((1/2)*1^2 + C2) + ((1/2)*(-2)^2 + C2)

S = (2 - 1/3 + C1) - (-4 - 8/3 + C1) - (1/2 + C2) + 2 + C2

S = 6/3 + 4 - 2 + C1 - C1 - C2 + C2

S = 2

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=2+x, равна 2 квадратным единицам.