Question

Помогите решить, плиз Х⁴-6х²+25=0

Answer 1

$x^4-6x^2+25=0\\\\x^2=y\\\\y^2-6y+25=0\\\\D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot25=-64$

D < 0,  в действительных числах корней нет

$\begin{array}{lcl}y_1=\dfrac{6-\sqrt{-64}}{2}=\dfrac{2(3-4i)}{2}=3-4i\\\\y_2=\dfrac{6+\sqrt{-64}}{2}=\dfrac{2(3+4i)}2=3+4i\end{array} \qquad\qquad\boxed{x=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

$x^2=3-4i\\\\x=\pm\sqrt{3-4i}$

$x^2=3+4i\\\\x=\pm\sqrt{3+4i}$

Ответ: $x_1=-\sqrt{3+4i};\ x_2=-\sqrt{3-4i};\ x_3=\sqrt{3-4i};\ x_4=\sqrt{3+4i}$

Answer 2

Для решения уравнения \(x^4 - 6x^2 + 25 = 0\) нужно воспользоваться методом замены переменной. Давайте введем замену: \(y = x^2\). Теперь уравнение примет вид:

\(y^2 - 6y + 25 = 0\).

Для нахождения корней этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом \(D\), который определен как \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 25\). Таким образом, \(D = (-6)^2 - 4(1)(25) = 36 - 100 = -64\).

Поскольку дискриминант \(D\) отрицательный, это означает, что уравнение имеет два комплексных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{-64}}{2} = \frac{6 + 8i}{2} = 3 + 4i\),

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{-64}}{2} = \frac{6 - 8i}{2} = 3 - 4i\).

Теперь у нас есть два значения для \(y\): \(y_1 = 3 + 4i\) и \(y_2 = 3 - 4i\). Но помним, что мы ввели замену \(y = x^2\), поэтому давайте вернемся к \(x\):

Для \(y_1\): \(x^2 = 3 + 4i\), что можно решить, извлекая квадратный корень из обеих сторон: \(x = \pm \sqrt{3 + 4i}\).

Для \(y_2\): \(x^2 = 3 - 4i\), аналогично, извлекаем квадратный корень: \(x = \pm \sqrt{3 - 4i}\).

Квадратный корень комплексного числа можно найти с использованием формулы Муавра. Давайте вычислим корни:

Для \(y_1\): \(\sqrt{3 + 4i} = \sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{\arctan(4/3)}{2} + 2\pi k\right)\), где \(\text{cis}(\theta)\) - это тригонометрическая форма комплексного числа, а \(k\) - целое число, позволяющее получить все корни.

Для \(y_2\): \(\sqrt{3 - 4i} = \sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{-\arctan(4/3)}{2} + 2\pi k\right)\).

Теперь у нас есть четыре корня в исходном уравнении:

1. \(x = \sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{\arctan(4/3)}{2}\right)\), 2. \(x = -\sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{\arctan(4/3)}{2}\right)\), 3. \(x = \sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{-\arctan(4/3)}{2}\right)\), 4. \(x = -\sqrt{5} \cdot \text{cis}\left(\frac{-\arctan(4/3)}{2}\right)\).

Здесь \(\text{cis}(\theta)\) представляет собой комплексное число в тригонометрической форме, а \(\arctan(4/3)\) - арктангенс отношения 4 к 3.