Question

Срочно пожалуйста Даны точки А(5;3; -1) и B(1;-3;3). Найдите плоскость симметрии данных точек. Варианты ответов: 1) 2x+3y-2z-4=0. 2) 2x+3y+2z+4 = 0 3) 2x+3y+2z-8 = 0 4) 2x-3y-2z-4 = 0

Answer 1

Ответ:

Так как точки А и В симметричны, относительно плоскости (Р), то эта плоскость проходит через середину отрезка АВ (точку С), принадлежащую этому отрезку.

Так как С - середина отрезка АВ, то

$xc = \frac{xa + xb}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ yc = \frac{ya + yb}{2} = \frac{ 3 + ( - 3)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \\ zc = \frac{za + zb}{2} = \frac{ - 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Тогда С (3; 0; 1)

Так как АВ перпендикулярна (Р), то вектор АВ можно принять за нормальный вектор плоскости (Р).

Вектор n = Вектор АВ = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = {1 - 5; - 3 - 3; 3 - (- 1)} = {- 4; - 6; 4}

Уравнение плоскости, проходящей через точку С (xc; yc; zc) перпендикулярно вектору n = {a; b; c;}

$a(x - xc) + b(y - yc) + c(z - zc) = 0$

Имеем

С (3; 0; 1) и вектор n = {- 4; - 6; 4}

$- 4(x - 3) + ( - 6)(y - 0) + 4(z - 1) = 0 \\ - 4x + 12 - 6y + 0 + 4z - 4 = 0 \\ - 4x - 6y + 4z + 8 = 0$

Разделим уравнение на (-2), получим

$2x + 3y - 2z - 4 = 0$

Ответ: 1)

Answer 2

Плоскость симметрии точек \(A\) и \(B\) является серединным перпендикуляром между этими точками. Для нахождения этой плоскости можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(B\). Обозначим его как \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = \langle 1 - 5, (-3) - 3, 3 - (-1) \rangle = \langle -4, -6, 4 \rangle \]

2. Найдем вектор средней точки между \(A\) и \(B\). Это делается путем усреднения соответствующих координат: \[ \vec{M} = \left( \frac{5+1}{2}, \frac{3+(-3)}{2}, \frac{(-1)+3}{2} \right) = \langle 3, 0, 1 \rangle \]

3. Теперь вектор \(\vec{M}\) представляет направление плоскости симметрии. Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

Где \(\langle a, b, c \rangle\) - вектор нормали к плоскости, а \(\langle x_0, y_0, z_0 \rangle\) - координаты точки, через которую проходит плоскость.

Подставим значения: \[ \langle 3, 0, 1 \rangle \cdot \langle x - 5, y - 3, z - (-1) \rangle = 0 \] \[ 3(x - 5) + 0(y - 3) + 1(z + 1) = 0 \] \[ 3x - 15 + z + 1 = 0 \] \[ 3x + z - 14 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости симметрии для точек \(A(5,3,-1)\) и \(B(1,-3,3)\) - \(3x + z - 14 = 0\).

Так что, из предложенных вариантов ответа, верный вариант - 3) \(3x + z - 14 = 0\).