Question

На координатній прямій зліва направо позначено одинадцять точок. Сума всіх відстаней від першої до всіх решта дорівнює 2018. Сума всіх відстаней від другої точки до всіх решта, включно з першою, дорівнює 2000. Якою є відстань між першою та другою точками？

Answer 1

Пусть х₂, х₃, х₄, ..., х₁₁ - расстояния от 1-ой точки до 2, 3, 4, ..., 11.
Пусть y₁, y₃, y₄, ..., y₁₁ - расстояния от 2-ой точки до 1, 3, 4, ..., 11.
Заметим:
х₂=y₁=z - искомое расстояние между 1 и 2 точками
х₃=z+y₃
х₄=z+y₄
...
х₁₁=z+y₁₁
Распишем заданные суммы:
$x_2+x_3+x_4+...+x_{11}=2018 \\\ y_1+y_3+y_4+...+y_{11}=2000$
Преобразуем:
$z+(z+y_3)+(z+y_4)+...+(z+y_{11})=2018 \\\ z+y_3+y_4+...+y_{11}=2000$
Из первого выражения вычтем второе:
$9z=18 \\\ z=2$
Ответ: 2

Answer 2

Давайте позначимо першу точку як A, другу точку як B, третю точку як C і так далі до одинадцятої точки, яку позначимо як K.

За умовою завдання, сума всіх відстаней від першої точки до всіх інших дорівнює 2018. Отже, ми можемо записати таке рівняння: AB + AC + AD + ... + AK = 2018

Також за умовою, сума всіх відстаней від другої точки до всіх інших, включаючи першу, дорівнює 2000. Це можна записати так: BC + BD + ... + BK + BA = 2000

Тепер ми можемо використати ці рівняння, щоб знайти відстань між першою та другою точками. Знайдемо різницю між сумою відстаней від першої точки до всіх інших і сумою відстаней від другої точки до всіх інших: (AB + AC + AD + ... + AK) - (BC + BD + ... + BK + BA) = 2018 - 2000 AB - BA = 18 AB = BA + 18

Отже, відстань між першою та другою точками дорівнює відстані між другою та першою точками плюс 18.