Question

Визначте при яких натуральних n вираз n³-2n²+3 , е цілим числом _______ n-2

Answer 1

Щоб визначити при яких натуральних значеннях \( n \) вираз \( n^3 - 2n^2 + 3 \) буде цілим числом, давайте проаналізуємо вираз.

Ваш вираз: \( n^3 - 2n^2 + 3 \)

Замість \( n \) можна підставити \( n - 2 \):

\((n-2)^3 - 2(n-2)^2 + 3\)

Розгортаємо цей вираз:

\((n-2)(n-2)(n-2) - 2(n-2)(n-2) + 3\)

\( (n-2) \) є частиною кожного доданка. Замінимо \( (n-2) \) на \( m \) для зручності:

\( m^3 - 2m^2 + 3 \)

Тепер давайте дослідимо умови, за яких цей вираз буде цілим числом. Очевидно, якщо \( m \) - ціле число, то і весь вираз буде цілим числом.

Таким чином, ми хочемо, щоб \( n-2 \) було цілим числом. Це може статися, якщо \( n-2 \) ділиться на 1 (ціле число).

Отже, вираз \( n^3 - 2n^2 + 3 \) буде цілим числом, коли \( n-2 \) - ціле число. Це відбудеться, якщо \( n \) - натуральне число і \( n \geq 2 \).