Question

Встановити, що рінвняння визначає еліпс, знайти його центр С, півосі та ексцентриситет: 16х² + 25у² + 32x - 100у - 284 = 0;

Answer 1

Рівняння, яке ви надали, виглядає як рівняння еліпса в канонічній формі. Канонічна форма рівняння еліпса зазвичай має вигляд:

\[ \frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1, \]

де \((h, k)\) - координати центру еліпса, \(a\) і \(b\) - півосі еліпса.

Давайте зробимо відповідне перетворення для вказаного рівняння еліпса:

\[16x^2 + 25y^2 + 32x - 100y - 284 = 0.\]

Спочатку групуємо за змінними \(x\) і \(y\):

\[16x^2 + 32x + 25y^2 - 100y - 284 = 0.\]

Тепер доповнюємо квадратичні вирази за допомогою квадратичних доповнень:

\[16(x^2 + 2x) + 25(y^2 - 4y) - 284 = 0.\]

Далі здійснюємо зсуви, додавши і віднімаючи необхідні константи для завершення квадратичних доповнень:

\[16(x^2 + 2x + 1) + 25(y^2 - 4y + 4) - 284 + 16 - 100 = 0.\]

Отримаємо:

\[16(x + 1)^2 + 25(y - 2)^2 - 368 = 0.\]

Тепер перепишемо рівняння в канонічній формі:

\[\frac{{(x + 1)^2}}{{23}} + \frac{{(y - 2)^2}}{{14.72}} = 1.\]

Отже, центр еліпса - точка \((-1, 2)\), півосі еліпса \(a = \sqrt{23}\) та \(b = \sqrt{14.72}\), а ексцентриситет еліпса обчислюється за формулою \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\). Після обчислень ви отримаєте значення ексцентриситету.