Question

Допоможіть будь ласка Визначити тип кривої та звести до канонічного вигляду рівняння. Визначити всі параметри даної кривої та побудувати схематичний малюнок.х2 - 2у2 - 8x - 4y + 22 = 0​

Answer 1

Щоб визначити тип кривої та звести рівняння до канонічного вигляду, давайте розглянемо задане рівняння:

\[x^2 - 2y^2 - 8x - 4y + 22 = 0\]

Спочатку давайте спробуємо згрупувати подібні елементи:

\[x^2 - 8x - 2y^2 - 4y + 22 = 0\]

Тепер давайте завершимо квадратичні члени для \(x\) і \(y\):

\[x^2 - 8x + 16 - 2y^2 - 4y + 4 + 22 = 0\]

Тепер групуємо квадратичні та лінійні члени:

\[(x^2 - 8x + 16) - 2(y^2 + 2y + 1) + 22 = 0\]

Розкриваємо квадрати:

\[(x - 4)^2 - 2(y + 1)^2 + 22 = 0\]

Тепер звести рівняння до канонічного вигляду:

\[(x - 4)^2 - 2(y + 1)^2 = -22\]

Тепер ми можемо визначити тип кривої. Дане рівняння представляє собою гіперболу, оскільки знак перед обох квадратичних членів від'ємний, і їхні коефіцієнти відрізняються.

Рівняння гіперболи у канонічному вигляді:

\[(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1\]

де \(h = 4\), \(k = -1\), \(a = \sqrt{11}\), \(b = \sqrt{2}\).

Тепер давайте побудуємо схематичний малюнок:

1. Визначаємо центр гіперболи: \((h, k) = (4, -1)\). 2. Визначаємо напрямок вісей: горизонтальна вісь - вздовж \(x\), вертикальна вісь - вздовж \(y\). 3. Визначаємо довжину напівосей: \(a = \sqrt{11}\) для горизонтальної вісі та \(b = \sqrt{2}\) для вертикальної вісі. 4. Малюємо гіперболу, використовуючи ці дані.

Таким чином, ви отримаєте схематичний малюнок гіперболи з канонічним рівнянням \((x - 4)^2/11 - (y + 1)^2/2 = 1\).