Question

На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку? Мне нужно с решением, помогите пожалуйста:с

Answer 1

Давайте рассмотрим, сколько точек было на прямой после каждой операции.

Пусть изначально на прямой было n точек. После первой операции между каждыми двумя соседними точками добавилась еще одна точка, т.е. каждый отрезок между соседними точками был разделен на две равные части. Таким образом, после первой операции на прямой стало 2n - 1 точек.

После второй операции каждый из отрезков между точками был разделен на две равные части, т.е. каждый отрезок был разделен на 3 равные части. Таким образом, после второй операции на прямой стало (2n - 1) * 2 - 1 = 4n - 3 точек.

Аналогично, после третьей операции на прямой стало (4n - 3) * 2 - 1 = 8n - 7 точек.

Полученные выражения можно обобщить и получить формулу для числа точек после k операций:

число точек = (2^k)n - (2^k - 1).

По условию, после всех операций на прямой оказалось 65 точек. Подставим это в формулу:

65 = (2^k)n - (2^k - 1).

Теперь рассмотрим возможные значения k. Если k = 0, то в формуле получаем n - (1 - 1) = n - 0 = n = 65. Это означает, что при k = 0 на прямой сперва было 65 точек, и ни одной операции не было выполнено.

Если k > 0, то 2^k > 1, и из формулы видно, что n < 65, т.е. изначальное количество точек было меньше 65.

Таким образом, ответом на задачу будет n = 65, при k = 0 (точек на прямой сперва было 65, ни одной операции не было выполнено).