Question

Помогите пожалуйста 1-3cosx=cos2x

Answer 1

$\displaystyle 1-3cosx=cos2x\quad \quad \quad \quad \quad (cos2x=2cos^2x-1)\\\\1-3cosx=2cos^2x-1\\\\2cos^2x+3cosx-2=0\\\\cosx=t,\,\,\,t\in[-1;1]\\\\2t^2+3t-2=0\\\\D=3^2+4*2*2=9+16=25\\\\t_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}4=\frac{1}2\\\\t_1=\frac{-3-5}4=-\frac{8}4=-2\notin [-1;1]\\\\t=\frac{1}2\\\\cosx=\frac{1}2\\\\\boxed{x=б\frac{\pi}3+2\pi n;n\in Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 - 3cos(x) = cos(2x), чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению.

Первый шаг: Приведение косинусов к одной переменной

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы привести косинусы к одной переменной. В данном случае, мы можем использовать тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), чтобы заменить cos(2x) в уравнении.

Таким образом, уравнение примет вид: 1 - 3cos(x) = 1 - 2sin^2(x)

Второй шаг: Приведение уравнения к квадратному виду

Давайте приведем уравнение к квадратному виду, собрав все члены синуса на одной стороне и уравняв их нулю. 2sin^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Третий шаг: Решение квадратного уравнения

Мы получили квадратное уравнение относительно sin^2(x), давайте решим его. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = -3 и c = 1.

Используя формулу дискриминанта, D = b^2 - 4ac, мы можем найти значения дискриминанта и определить тип решений.

D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных решения для sin^2(x).

Четвертый шаг: Нахождение sin(x) и x

Давайте найдем значения sin(x), используя решения квадратного уравнения.

sin^2(x) = (-b ± √D) / (2a)

sin^2(x) = (-(-3) ± √1) / (2 * 2)

sin^2(x) = (3 ± 1) / 4

Таким образом, у нас есть два значения sin(x):

1) sin^2(x) = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1 sin(x) = ± √1 = ± 1

2) sin^2(x) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2 sin(x) = ± √(1/2)

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции.

1) Если sin(x) = 1, то x = arcsin(1) = π/2 + 2πk, где k - целое число.

2) Если sin(x) = -1, то x = arcsin(-1) = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

3) Если sin(x) = √(1/2), то x = arcsin(√(1/2)) = π/4 + 2πk, где k - целое число.

4) Если sin(x) = -√(1/2), то x = arcsin(-√(1/2)) = -π/4 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, уравнение 1 - 3cos(x) = cos(2x) имеет бесконечное количество решений, где x принадлежит множеству {π/2 + 2πk, -π/2 + 2πk, π/4 + 2πk, -π/4 + 2πk}, где k - целое число.