Question

Допоможіть розв'язати sin 8x - cos 6x = корінь з 3 (sin 6x+cos 8x)​

Answer 1

Для розв'язання рівняння sin(8x) - cos(6x) = sqrt(z+3) * (sin(6x) + cos(8x)), де z - деяке число, скористаємося тригонометричними тотожностями і методом підстановки.

Спочатку приведемо ліву частину рівняння до одного виду. Використовуючи формулу синуса суми, отримаємо:

sin(8x) - cos(6x) = sqrt(z+3) * (sin(6x) + cos(8x)) sin(8x) - sqrt(z+3)*sin(6x) = sqrt(z+3)*cos(8x) + cos(6x)

Виразимо sin(8x) та cos(8x) через sin(6x) та cos(6x) за допомогою формул подвійного кута:

sin(8x) = 2*sin(4x)*cos(4x) = 2*(2*sin(2x)*cos(2x))*(cos^2(2x) - sin^2(2x)) = 4*sin(2x)*cos^3(2x) - 4*sin^3(2x)*cos(2x) cos(8x) = cos^2(4x)-sin^2(4x) = (cos^2(2x) - sin^2(2x))^2 - (2*sin(2x)*cos(2x))^2 = cos^4(2x) - 2*sin^2(2x)*cos^2(2x) + sin^4(2x)

Після підстановки отримаємо:

4*sin(2x)*cos^3(2x) - 4*sin^3(2x)*cos(2x) - sqrt(z+3)*sin(6x) = sqrt(z+3)*(cos^4(2x) - 2*sin^2(2x)*cos^2(2x) + sin^4(2x)) + cos(6x)

Зведемо подібні доданки:

4*sin(2x)*cos^3(2x) - sqrt(z+3)*sin(6x) = -4*sin^3(2x)*cos(2x) + sqrt(z+3)*cos^4(2x) - 2*sqrt(z+3)*sin^2(2x)*cos^2(2x) + sqrt(z+3)*sin^4(2x) + cos(6x)

Упростимо вираз:

4*sin(2x)*cos^3(2x) + 4*sin^3(2x)*cos(2x) + 2*sqrt(z+3)*sin^2(2x)*cos^2(2x) - sqrt(z+3)*sin^4(2x) - sqrt(z+3)*cos^4(2x) - cos(6x) = 0

Скористаємося формулами підстановки для тригонометричних функцій:

sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2*cos^2(x) - 1 sin^2(2x) = (1 - cos(2x))/2 = (1 - (2*cos^2(x) - 1))/2 = 1 - cos^2(x) cos^4(2x) = (cos^2(2x))^2 = (2*cos^2(x) - 1)^2 sin^4(2x) = (sin^2(2x))^2 = (1 - cos^2(x))^2

Підставимо ці значення в рівняння:

4*(2*sin(x)*cos(x))*(2*cos^2(x) - 1)^3 + 4*(2*sin^3(x)*cos(x))*(2*cos^2(x) - 1) + 2*sqrt(z+3)*(1 - cos^2(x))*(2*cos^2(x) - 1)^2 - sqrt(z+3)*(1 - cos^2(x))^2 - sqrt(z+3)*(2*cos^2(x) - 1)^2 - cos(6x) = 0

Отримане рівняння має вид:

64*sin(x)*cos^3(x)*(2*cos^2(x) - 1)^3 + 64*sin^3(x)*cos(x)*(2*cos^2(x) - 1) + 32*sqrt(z+3)*(1 - cos^2(x))*(2*cos^2(x) - 1)^2 - 8*sqrt(z+3)*(1 - cos^2(x))^2 - 8*sqrt(z+3)*(2*cos^2(x) - 1)^2 - cos(6x) = 0

Це вже прикладна задача. Щоб розв'язати це рівняння для конкретного числа z, потрібно числові значення обчислити поряд знаку рівності.