Question

4. Знайдіть дійснi коренi рiвняння: A) x³ + 3x² - 10x - 24 = 0

Answer 1

метод факторизації

-24 = (-1) * 24 = (-1) * (-2) * 12 = (-1) * (-2) * (-3) * 4 = (-1) * (-2) * (-3) * (2) * 2

можна факторизувати рівняння x³ + 3x² - 10x - 24 = 0 наступним чином:

(x + 4)(x - 2)(x + 3) = 0

x³ + 3x² - 10x - 24 = 0:

x = -4

x = 2

x = -3

Відповідь: x = -4, x = 2, x = -3.

Answer 2

Щоб знайти дійсні корені рівняння \(x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = 0\), спробуємо використати різні методи. Один зі способів - це використання раціональних коренів, які задовольнять теоремі Раціональних коренів.

Теорема Раціональних коренів стверджує, що будь-який раціональний корінь цього рівняння буде дільником вільного члена (у цьому випадку -24) і матиме вигляд \(p/q\), де \(p\) - дільник вільного члена, а \(q\) - дільник коефіцієнта при старшому члені (у цьому випадку 1).

Ваш вільний член -24, а коефіцієнт при \(x^3\) дорівнює 1. Таким чином, можливі раціональні корені - це дільники числа 24. Перевіримо їх:

1. \(x = 1\) - не є раціональним коренем. 2. \(x = -1\) - не є раціональним коренем. 3. \(x = 2\) - не є раціональним коренем. 4. \(x = -2\) - є раціональним коренем.

Отже, \(x = -2\) - раціональний корінь. Тепер використаємо його, щоб розділити вихідне рівняння:

\((x + 2)(x^2 + x - 12) = 0\)

Тепер ми отримали квадратне рівняння \(x^2 + x - 12 = 0\). Щоб знайти його корені, можна використовувати формулу квадратного рівняння або розклад відносно двох добутків.

Формула квадратного рівняння:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Де \(a\), \(b\), і \(c\) - коефіцієнти квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\).

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = 1\), і \(c = -12\). Підставимо ці значення:

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}\]

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}\]

\[x = \frac{-1 \pm 7}{2}\]

Отже, два корені квадратного рівняння:

1. \(x = \frac{-1 + 7}{2} = 3\) 2. \(x = \frac{-1 - 7}{2} = -4\)

Отже, усього рівняння має три дійсних корені: \(x = -2, 3, -4\).