Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение √(3х-а)=х-3а имеет корни, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а.

Answer 1

Надо возвести в квадрат обе части:
(√(3х-а))²=(х-3а)²,
3х-а=х²-6ах+9а²
х² -3х - 6ах + 9а² +а = 0.
В виде квадратного уравнения  ах² + вх + с = 0:
х² -3(1+2а)*х + (9а² +а) = 0.
Решая такое уравнение, получаем 2 варианта зависимости а и х:
1) -9/32 < a ≤ 0,
при этом х = (3/2)*(2а+1)+-√(32а+9).
2) а > 0,
при этом х = (3/2)*(2а+1)+√(32а+9).

То есть, корней бесчисленное множество, так как в заданном выражении 2 переменных неизвестных.

Вот примеры корней:
а =       -0.2812      -0.25         -0.2           -0.1            1
х =        0.6563       1.25        1.7062       2.4042      7.7016
V(3x-a) = 1.5            2            2.3062      2.7042      4.7016
(x-3a) =   1.5            2            2.3062      2.7042      4.7016.

Answer 2

Данное уравнение √(3х-а) = х-3а можно решить, применив несколько шагов алгебраических преобразований. Давайте произведем эти преобразования поэтапно:

Шаг 1: Возведение обоих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (√(3х-а))^2 = (х-3а)^2

Шаг 2: Упрощение обеих частей уравнения: 3х-а = (х-3а)^2

Шаг 3: Раскрытие квадрата в правой части уравнения: 3х-а = (х-3а)(х-3а)

Шаг 4: Раскрытие скобок в правой части: 3х-а = х^2 - 6ах + 9а^2

Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: х^2 - 9ах + (9а^2 - 3х + а) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида х^2 - 9ах + (9а^2 - 3х + а) = 0. Чтобы найти значения параметра а, при которых это уравнение имеет корни, нужно решить это уравнение.

Решение квадратного уравнения может быть сложной задачей, но мы можем воспользоваться дискриминантом для определения количества и типа корней. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае квадратное уравнение имеет вид х^2 - 9ах + (9а^2 - 3х + а) = 0, поэтому: a = 1 b = -9a = -9 c = 9a^2 - 3a = 9 - 3 = 6

Теперь можем вычислить дискриминант: D = (-9)^2 - 4(1)(6) = 81 - 24 = 57

Корни уравнения для каждого значения a:

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень (корень с кратностью два). Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Подставим наше значение D = 57 в эти условия:

D > 0, значит уравнение имеет два различных корня.

Теперь можем использовать формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Где ± означает "плюс-минус", то есть для каждого значения a мы найдем два корня уравнения.

Подставим значения a = 1, b = -9 и D = 57 в формулу для нахождения корней:

x1 = (-(-9) + √57) / (2(1)) = (9 + √57) / 2 x2 = (-(-9) - √57) / (2(1)) = (9 - √57) / 2

Таким образом, для значения параметра a = 1 уравнение имеет два корня: x1 = (9 + √57) / 2 и x2 = (9 - √57) / 2.