Question

ДАЮ 80 БАЛОВ Площина а, що паралельна діагоналі BD паралелограма ABCD перетинає його суміжні сторони BC і CD відповідно у точках M і P. Доведіть що MP//BD Обчисліть сторони паралелограма, якщо BM:BC=1:3, MC=9 см, DP=6 см.​

Answer 1

Ответ:

Для доведення того, що MP // BD, ми можемо використати теорему про трикутники, що мають паралельні сторони. За умовою, MP і BD - це суміжні сторони паралелограма ABCD.

Так як BM:BC = 1:3, то можна записати наступне співвідношення:

BM = (1/4) * BC

За умовою, MC = 9 см, тому

BC = BM + MC = (1/4) * BC + 9

Перенесемо (1/4) * BC на ліву сторону рівняння:

(3/4) * BC = 9

Поділимо обидві частини рівняння на (3/4):

BC = 12

Таким чином, BC = 12 см.

Також за умовою DP = 6 см.

Отже, сторони паралелограма ABCD дорівнюють:

AB = CD = BC = 12 см

AD = BC + DP = 12 + 6 = 18 см

Таким чином, сторони паралелограма ABCD дорівнюють: AB = CD = BC = 12 см, AD = 18 см.

Answer 2

Давайте розглянемо дану ситуацію крок за кроком.

1. Позначимо вершини паралелограма ABCD як A, B, C, і D. Дано, що площина a паралельна діагоналі BD та перетинає сторони BC і CD в точках M і P відповідно.

2. За умовою задачі ми маємо BM:BC = 1:3. Отже, можна записати, що BM дорівнює \( \frac{1}{4} \) BC.

3. Маємо також відомі значення MC = 9 см та DP = 6 см.

4. Позначимо довжини сторін паралелограма: AB = a, BC = b, CD = c, і DA = d.

5. За властивостями паралелограма можна сказати, що MC = BD, оскільки вони - діагоналі паралелограма.

6. Тепер ми можемо записати вирази для BM та BD відносно BC: BM = \( \frac{1}{4} \) BC, BD = BM + MC = \( \frac{1}{4} \) BC + 9.

7. За умовою DP = 6 см, можна записати вираз для PD відносно CD: PD = CD - DP = c - 6.

8. Оскільки MP паралельна BD, вони мають однаковий кут нахилу. Тобто, трикутники BMP і BDC подібні. З цього можна записати відношення сторін:

\(\frac{MP}{BD} = \frac{BM}{BC}\).

Підставимо відомі значення: \(\frac{MP}{\frac{1}{4} BC + 9} = \frac{\frac{1}{4} BC}{BC}\).

Спростимо вираз:

\(4MP = \frac{1}{4} BC\), \(MP = \frac{1}{16} BC\).

9. Тепер можемо записати рівняння для відношення PD до MP:

\(\frac{PD}{MP} = \frac{c - 6}{\frac{1}{16} BC}\).

Підставимо відомі значення PD, MP та вираз для BD:

\(\frac{c - 6}{\frac{1}{16} BC} = \frac{c - 6}{\frac{1}{16} (\frac{1}{4} BC + 9)}\).

10. Тепер ми можемо вирішити це рівняння та знайти значення сторін паралелограма BC, CD, BM, і BD.

11. При підставці відомих значень (MC = 9 см, DP = 6 см) отримаємо вирази для сторін паралелограма:

\(BM = \frac{1}{4} BC\), \(MC = 9\) (дано), \(DP = 6\) (дано), \(BD = \frac{1}{4} BC + 9\).

12. Розв'яжемо рівняння та знайдемо значення BC, а потім обчислимо інші сторони паралелограма.