Question

А) Скількома способами можна розташувати в ряд 5 білих і 4 чорних кулі так, щоб чорні кулі не лежали поруч, Розглянути два випадки: кулі одного кольору не відрізняються одна від одної; усі кулі різні. б) На першій із двох паралельних прямих лежить 10 точок, на другій - 20. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

Answer 1

Ответ:

а) Давайте розглянемо два випадки:

1. Кулі одного кольору не відрізняються одна від одної.

У цьому випадку ми маємо 5 білих куль і 4 чорних кулі. Щоб чорні кулі не лежали поруч, ми можемо розташувати білі і чорні кулі чередуючи, що можна зробити наступним чином: BCBBCBCBC, де "B" представляє білі кулі, а "C" - чорні.

Кількість способів для цього випадку дорівнює кількість перестановок білих і чорних куль, тобто 9!.

2. Усі кулі різні.

У цьому випадку, ми можемо вибрати 5 місць для білих куль з 9 загальних місць, а потім розташувати білі кулі на цих місцях. Кількість способів вибору 5 місць з 9 можна обчислити за допомогою комбінаторики: C(9, 5) = 126.

Далі, ми можемо розмістити 5 білих куль на вибраних місцях, що дорівнює 5!.

Отже, загальна кількість способів для цього випадку дорівнює 126 * 5!.

б) Для побудови трикутника потрібно обрати будь-які три точки з усіх доступних точок. Кількість способів обрати 3 точки з 30 (оскільки є 30 точок усього - 10 на першій прямій та 20 на другій) можна обчислити за допомогою комбінаторики: C(30, 3) = 4,860.

Отже, існує 4,860 різних трикутників з вершинами в цих точках.

Answer 2

а) У даній задачі треба розташувати 5 білих і 4 чорних кулі в ряд так, щоб чорні кулі не лежали поруч. Перший випадок: кулі одного кольору не відрізняються одна від одної. Припустимо, що ряд може починатись з білої кулі. Тоді ми маємо 5 можливих варіантів для першої кулі (5 білих куль), і після розміщення першої кулі ми маємо 4 можливих варіанти для розміщення наступної (білої) кулі. Після цього ми маємо 3 можливих варіанти для третьої (білої) кулі і так далі. Тобто, загальна кількість способів для першого випадку дорівнює 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Другий випадок: усі кулі різні. В цьому випадку ми маємо 9 доступних місць для розміщення куль. Починаємо з розміщення білої кулі, маємо 5 варіантів для першої місцевості. Після цього ми маємо 8 варіантів для розміщення наступної білої кулі, потім 7 варіантів для третьої білої кулі і так далі. Після розміщення всіх 5 білих куль, ми маємо 4 доступні місця для розміщення 4 чорних куль (одне місце між кожною парою підрахованих білих куль). Тобто, загальна кількість способів для другого випадку дорівнює 5 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720.

Отже, загальна кількість способів розташувати кулі так, щоб чорні кулі не лежали поруч, дорівнює сумі кількостей з першого і другого випадку: 120 + 6720 = 6840 способів.

б) У цій задачі треба підрахувати кількість трикутників з вершинами в 10 точках на першій паралельній прямій і 20 точках на другій паралельній прямій. Кількість трикутників, що можна утворити з цих точок, залежить від кількості можливих комбінацій вибору трьох точок зі своїх груп. На першій прямій є 10 точок, і комбінації вибору трьох точок можна обчислити за допомогою числа поєднань. Таким чином, кількість комбінацій вибору 3 точок з 10 дорівнює C(10, 3) = (10!)/(3!*(10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120.

Аналогічним чином, на другій прямій є 20 точок, і кількість комбінацій вибору 3 точок з 20 дорівнює C(20, 3) = (20!)/(3!*(20-3)!) = 20 * 19 * 18 / (3 * 2 * 1) = 1140.

Отже, загальна кількість трикутників з вершинами в цих точках дорівнює добутку кількостей комбінацій вибору трьох точок з першої і другої прямих: 120 * 1140 = 136,800.

Отже, існує 136,800 трикутників з вершинами в даному числі точок.