Question

.1. Дан квадрат со стороной 4 см. Докажите, что его можно разрезать на несколько прямоугольников так, что сумма их периметров принимает любое целое значение большее или равное 24 см? 2 Найдите 15 последовательных целых чисел, сумма первых девяти из которых равна сумме остальных шести. Обоснуйте, что нашли все варианты. 3. Докажите, что для любого натурального числа n, найдутся две различные степени числа 7, разность которых кратна n.

Answer 1

.....................................................

Answer 2

1. Чтобы доказать, что квадрат со стороной 4 см можно разрезать на несколько прямоугольников так, что сумма их периметров принимает любое целое значение большее или равное 24 см, можно просто разрезать квадрат на 4 одинаковых прямоугольника со сторонами 2 см и 4 см. Таким образом, сумма их периметров будет равна 24 см. Затем можно добавить или убрать прямоугольники, чтобы получить нужное целое значение суммы периметров.

2. Пусть первое целое число равно x. Тогда сумма первых девяти целых чисел будет равна 9x + 36, а сумма остальных шести чисел будет равна 6x + 21. Уравняем эти два выражения и получим уравнение 9x + 36 = 6x + 21, откуда x = -5. Таким образом, первое целое число равно -5, а последовательные целые числа будут -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3. Предположим, что для любого натурального числа n не найдутся две различные степени числа 7, разность которых кратна n. Тогда можно рассмотреть числа 7^1, 7^2, 7^3, ..., 7^n. Разности между этими числами будут 7^2 - 7^1, 7^3 - 7^2, ..., 7^n - 7^(n-1). Если разность не кратна n, то она будет иметь остаток при делении на n. Но так как у нас n разностей, и всего n-1 возможных остатков при делении на n, то по принципу Дирихле найдутся две разности с одинаковыми остатками при делении на n. Таким образом, мы приходим к противоречию, что и доказывает утверждение.