Question

1) методом вынесения общего множителя за скобки найдите множество решений неравенств а) 2^x+2-2^x>96 б) 7^xбольше или равно7^x-1+6 в) 5^x+1<24+5^x-1 2) Решите неравенства: а) log2(5x-2)>1 б) logодна вторая(5x-2)>1 д)log5(x^2-11x+43)>2

Answer 1

1)
а)2^х (1+2)>96
2^х ×3>96
2^х >96 ÷3
2^х >32
2^х >2^5
х >5
2)
а) ОДЗ:5х -2>0
х> 0,4
5х -2>2
5х>4
х> 0,8
Ответ: х >0,8

Answer 2

1) Методом вынесения общего множителя за скобки найдем множество решений неравенств: а) 2^x + 2 - 2^x > 96 Вынесем общий множитель 2^x: 2^x(1 + 1) > 96 2^x * 2 > 96 2^(x+1) > 96 x+1 > log2(96) x > log2(96) - 1

б) 7^x больше или равно 7^(x-1) + 6 Вынесем общий множитель 7^(x-1): 7^(x-1)(7^1 - 1) >= 6 7^(x-1) * 6 >= 6 7^(x-1) >= 1 Для любого x данное неравенство выполняется, так как 7^0 = 1.

в) 5^x + 1 < 24 + 5^(x-1) Вынесем общий множитель 5^(x-1): 5^(x-1)(5 - 1) < 24 5^(x-1) * 4 < 24 5^(x-1) < 6 x-1 < log5(6) x < log5(6) + 1

2) Решим следующие неравенства: а) log2(5x-2) > 1 Мы знаем, что если loga(b) > c, то b > a^c. Применим это к нашему неравенству: 5x - 2 > 2^1 5x - 2 > 2 5x > 4 x > 4/5

б) log(5x-2) > 1 Аналогично предыдущему примеру: 5x - 2 > 10^1 5x - 2 > 10 5x > 12 x > 12/5

д) log5(x^2-11x+43) > 2 Аналогично предыдущим примерам: x^2 - 11x + 43 > 5^2 x^2 - 11x + 43 > 25 x^2 - 11x + 18 > 0

Для нахождения интервалов, в которых неравенство выполняется, можно найти корни квадратного уравнения x^2 - 11x + 18 = 0. x1 = (11 + √(121 - 4*1*18)) / 2 = (11 + √(121 - 72)) / 2 = (11 + √49) / 2 = (11 + 7) / 2 = 9 x2 = (11 - √(121 - 4*1*18)) / 2 = (11 - √(121 - 72)) / 2 = (11 - √49) / 2 = (11 - 7) / 2 = 2

Таким образом, неравенство выполняется на интервале (2, 9).