Question

Даю 100 балов, Помогите пожалуйста 7. Вкладник вніс у банк 5000 грн з розрахунку, що вклад щороку буде збільшуватися на 10%. Через скільки рокiв У нього Ha paxyHKу буде 6655грн? 8. Іванко майстрував з іграшкових цеглинок стіну з бiйницями, тому в кожному наступному ряду було на б цеглинок менше, ніж у попередньому. Скільки було цеглинок у першому найнижчому ряду, якщо у найви- щому їх було 3, а всього стіна містила 300 цеглинок? ​

Answer 1

1) Маємо геометричну прогресію, де b₁=5000, q=1.1, bₙ=6655. За формулою bₙ=b₁×qⁿ⁻¹, тобто 6655=5000×1.1ⁿ⁻¹; 1331=1000×1.1ⁿ⁻¹;

1,331=1.1ⁿ⁻¹

n-1=3

n=4

2) Маємо арифметичну прогресію, де d=-6, S=300, aₙ=3.

За двома формулами суми арифметичної прогресії маємо:

$\left \{ {{S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n} \atop {S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}2{*n}} \right.$

$\left \{300=\frac{a_{1}+3}{2}*n } \atop {300=\frac{2a_{1}-6(n-1)}2{*n}} \right.$

Ділимо одну систему на другу, отримуємо:

$\frac{a_{1}+3}{2a_{1}-6(n-1)}=1$

a₁+3=2a₁-6(n-1)

a₁=6n-3

Підставимо у перше рівняння:

$\frac{2(6n-3)-6(n-1)}{2}*n=300$

(6n-3-3n+3)×n=300

3n²=300

n²=100

n=±10

-10 відкидаємо, бо відмінна кількість рядів бути не може.

a₁=6×10-3=57

Answer 2

Задача 7: Вклад у банк збільшується на 10% щорічно. Ми шукаємо, через скільки років 5000 грн зростуть до 6655 грн.

Це можна розв'язати шляхом розрахунку процентів.

Спочатку варто визначити формулу для обчислення кінцевої суми з урахуванням відсотків:

\[ A = P \times \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \]

де: \( A \) - кінцева сума вкладу, \( P \) - початкова сума вкладу, \( r \) - річний процент (у нашому випадку 10%), \( n \) - кількість років.

Ми хочемо знайти, через скільки років 5000 грн зростуть до 6655 грн, отже:

\[ 6655 = 5000 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^n \]

Тепер треба вирішити рівняння для \( n \). Давайте розв'яжемо його.

\[ \left(1.1\right)^n = \frac{6655}{5000} \] \[ \left(1.1\right)^n = 1.331 \]

Тепер потрібно знайти, через скільки років \( n \) зростання складе 1.331. Використовуючи логарифми, ми можемо отримати значення \( n \):

\[ n = \log_{1.1} 1.331 \]

Розрахунок: \[ n = \frac{\log 1.331}{\log 1.1} \] \[ n \approx \frac{0.123} {0.041} \] \[ n \approx 3 \]

Отже, через близько 3 роки сума вкладу зросте з 5000 грн до 6655 грн за умови 10% щорічного збільшення.

Задача 8: У нас є стіна з іграшкових цеглинок, де в кожному наступному ряду цеглинок на одиницю менше, ніж у попередньому. У найвищому ряду було 3 цеглинки, а всього у стіні - 300 цеглинок.

Щоб розв'язати цю задачу, можна скористатися формулою суми арифметичної прогресії. Ця сума розраховується за формулою:

\[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]

де: \( S \) - сума, \( n \) - кількість членів у послідовності, \( a_1 \) - перший член послідовності, \( a_n \) - останній член послідовності.

Ми знаємо, що сума всіх цеглинок у стіні дорівнює 300 і в останньому (найвищому) ряду є 3 цеглинки. Також, кожен наступний ряд має на одну цеглинку менше за попередній. Тобто, сума цієї послідовності цеглинок буде визначатися так:

\[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) = 300 \]

Таким чином, нам потрібно знайти, скільки цеглинок є в першому (найнижчому) ряду. Нехай ця кількість цеглинок у першому ряду буде \( a_1 \), а кількість рядів буде \( n \).

Дано, що в найвищому ряду \( a_n = 3 \).

Тепер можемо використати формулу для знаходження суми послідовності, щоб вирішити завдання.

Підставимо відомі значення:

\[ \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) = 300 \] \[ \frac{n}{2} \times (a_1 + 3) = 300 \]

Оскільки нам треба знайти кількість цеглинок у першому ряду (\( a_1 \)), ми не можемо вирішити це рівняння без знання кількості рядів (\( n \)).

Давайте продовжимо пошук.

Розглянемо дані про те, що в найвищому ряду є 3 цеглинки. Це означає, що \( a_n = 3 \).

Також, кожен наступний ряд має на одну цеглинку менше, тому можемо скласти вираз для останнього члена через кількість рядів:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \] \[ 3 = a_1 + (n - 1) \]

Ми також знаємо, що сума всіх ряд