Question

Записати множину розв'язків рівнянь і нерівностей: 1)√х-5=х+1; 2)√х (х²-1)<0; 3)1/х+1 - 1/х≥0; 4)log₂х<2; 5)4^х-2^х>0.

Answer 1

1) √x - 5 = x + 1 Перенесемо x зліва: √x - x = 5 + 1 Розв'яжемо квадратне рівняння: x - x² = 6 x² - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 x₁ = 3, x₂ = -2 Отже, множина розв'язків: {3, -2}

2) √x + (x² - 1) < 0 Розв'яжемо нерівність: x² + √x - 1 < 0 Розв'яжемо квадратне рівняння: x² + √x - 1 = 0 Позначимо √x як t: t² + t - 1 = 0 (t + 1)(t - 1) = 0 t₁ = -1, t₂ = 1 Отже, множина розв'язків: {x | 0 < x < 1}

3) 1/x + 1 - 1/x ≥ 0 Об'єднаємо дроби: 1 + 1 ≥ 0 2 ≥ 0 Нерівність виконується для будь-якого x, тому множина розв'язків: (-∞, +∞)

4) log₂x < 2 Перетворимо нерівність у показникову форму: x < 2² x < 4 Множина розв'язків: (0, 4)

5) 4^x - 2^x > 0 Розкладемо у різницю квадратів: (2^x)² - 2^x > 0 Позначимо 2^x як t: t² - t > 0 (t - 1)(t + 1) > 0 Відсіюємо корені: t > 1 або t < -1 Позначимо 2^x назад як t: 2^x > 1 або 2^x < -1 Множина розв'язків: (0, +∞)